Hitunglah setiap limit berikut ini. limit x -> 0 (tan ax -

Hasilnya adalah a^3 / b^3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\tan ax - ax}{\tan bx - bx}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital karena substitusi langsung x=0 akan menghasilkan bentuk tak tentu 0/0.

Langkah 1: Terapkan aturan L'Hôpital.
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.

Turunan pembilang (tan ax - ax):
$rac{d}{dx}(\tan ax - ax) = \sec^2(ax) \cdot a - a = a \sec^2(ax) - a$

Turunan penyebut (tan bx - bx):
$rac{d}{dx}(\tan bx - bx) = \sec^2(bx) \cdot b - b = b \sec^2(bx) - b$

Limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{a \sec^2(ax) - a}{b \sec^2(bx) - b}$

Langkah 2: Substitusikan x = 0.
Kita tahu bahwa $\sec(0) = 1$.

$rac{a \sec^2(a \cdot 0) - a}{b \sec^2(b 
cdot 0) - b} = \frac{a \sec^2(0) - a}{b \sec^2(0) - b} = \frac{a(1)^2 - a}{b(1)^2 - b} = \frac{a - a}{b - b} = \frac{0}{0}$

Karena kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menerapkan aturan L'Hôpital lagi.

Langkah 3: Terapkan aturan L'Hôpital untuk kedua kalinya.

Turunan pembilang (a sec^2(ax) - a):
$rac{d}{dx}(a \sec^2(ax) - a) = a \cdot 2 \sec(ax) \cdot (\sec(ax) \tan(ax) 
\cdot a) = 2a^2 \sec^2(ax) \tan(ax)$

Turunan penyebut (b sec^2(bx) - b):
$rac{d}{dx}(b \sec^2(bx) - b) = b \cdot 2 \sec(bx) 
\cdot (\sec(bx) \tan(bx) 
\cdot b) = 2b^2 \sec^2(bx) \tan(bx)$

Limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{2a^2 \sec^2(ax) \tan(ax)}{2b^2 \sec^2(bx) 
tan(bx)}$

Kita dapat menyederhanakan 2 di pembilang dan penyebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{a^2 \sec^2(ax) 
tan(ax)}{b^2 
sec^2(bx) 
tan(bx)}$

Kita juga tahu bahwa $\tan(kx) \approx kx$ untuk $x \to 0$ dan $\sec(kx) \approx 1$ untuk $x \to 0$.
Jadi, $\tan(ax) \approx ax$ dan $\tan(bx) \approx bx$.
Dan $\sec^2(ax) \approx 1$ dan $\sec^2(bx) \approx 1$.

Mengganti ini ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{a^2 
(1) 
tan(ax)}{b^2 
(1) 
tan(bx)} = \lim_{x \to 0} \frac{a^2 
tan(ax)}{b^2 
tan(bx)}$

Gunakan pendekatan $\tan(kx) \approx kx$:
$\lim_{x \to 0} \frac{a^2 (ax)}{b^2 (bx)} = \lim_{x \to 0} \frac{a^3 x}{b^3 x}$

Batalkan x:
$\frac{a^3}{b^3}$

Atau kita bisa menggunakan hasil $\lim_{x \to 0} rac{\tan(kx)}{kx} = 1$. Maka, $\tan(kx) = kx rac{\tan(kx)}{kx}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{a^2 \sec^2(ax) \tan(ax)}{b^2 \sec^2(bx) 
tan(bx)} = \frac{a^2}{b^2} \lim_{x \to 0} \sec^2(ax) \frac{\tan(ax)}{ax} \cdot ax \cdot \frac{bx}{\tan(bx)} \frac{1}{bx}$

$= \frac{a^2}{b^2} \lim_{x \to 0} \sec^2(ax) 
(\frac{\tan(ax)}{ax}) \frac{ax}{bx} (\frac{bx}{\tan(bx)})$ 

$= \frac{a^2}{b^2} \cdot 1 
\cdot \frac{a}{b} 
\cdot 1 = \frac{a^3}{b^3}$

Cara lain, menggunakan ekspansi Taylor untuk tan(x) di sekitar 0:
tan(x) = x + x^3/3 + ...
tan(ax) = ax + (ax)^3/3 + ...
tan(bx) = bx + (bx)^3/3 + ...

pembilang = (ax + a^3x^3/3 + ...) - ax = a^3x^3/3 + ...

penyebut = (bx + b^3x^3/3 + ...) - bx = b^3x^3/3 + ...

Limit = $\lim_{x \to 0} \frac{a^3x^3/3}{b^3x^3/3} = \frac{a^3}{b^3}$

Jadi, hasil limitnya adalah a^3 / b^3.