Diketahui keliling persegi panjang (2x+20) cm dan lebarnya

Panjangnya adalah 9 cm.

Pembahasan

Diketahui keliling persegi panjang K = (2x + 20) cm dan lebarnya L = (8 - x) cm.
Keliling persegi panjang dirumuskan sebagai K = 2(panjang + lebar).
Maka, 2x + 20 = 2(panjang + (8 - x)).
Bagi kedua sisi dengan 2: x + 10 = panjang + 8 - x.
Pindahkan (8 - x) ke sisi kiri untuk mendapatkan panjang: panjang = (x + 10) - (8 - x) = x + 10 - 8 + x = 2x + 2.

Luas persegi panjang adalah A = panjang × lebar.
A = (2x + 2)(8 - x).
Untuk mencari luas maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari A terhadap x dan menyamakannya dengan nol.
A = 16x - 2x² + 16 - 2x
A = -2x² + 14x + 16.

Turunan pertama A terhadap x adalah dA/dx:
dA/dx = -4x + 14.

Samakan turunan pertama dengan nol untuk mencari nilai x yang memberikan luas maksimum:
-4x + 14 = 0
-4x = -14
x = -14 / -4
x = 7/2 = 3.5.

Sekarang, kita perlu mencari panjangnya ketika x = 3.5 cm.
Panjang = 2x + 2 = 2(3.5) + 2 = 7 + 2 = 9 cm.

Untuk memastikan ini adalah maksimum, kita bisa memeriksa turunan kedua. Turunan kedua dari A adalah -4, yang negatif, menunjukkan bahwa ini adalah nilai maksimum.

Jadi, agar luas persegi panjang maksimum, panjangnya adalah 9 cm.