Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan AB=12. Titik M terletak

Sudut MH dengan bidang ADHE adalah arcsin(1/√5) (≈ 26.57°), dan sudut BH dengan bidang ADHE adalah 45°.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara garis dan bidang, kita perlu mencari sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = 12.
Titik M terletak pada perpotongan diagonal bidang alas ABCD. Ini berarti M adalah titik pusat dari persegi ABCD.

1. Besar sudut antara garis MH dan bidang ADHE:
   - Bidang ADHE adalah sisi tegak kubus.
   - Proyeksi garis MH pada bidang ADHE adalah garis yang ditarik dari M tegak lurus ke bidang ADHE. Karena M adalah titik pusat alas dan bidang ADHE adalah sisi tegak, proyeksi M ke bidang ADHE adalah titik tengah dari rusuk AE (atau DH).
   - Misalkan P adalah titik tengah AE. Maka, proyeksi MH pada bidang ADHE adalah garis HP.
   - Kita perlu mencari sudut antara MH dan HP. Untuk mempermudah, kita bisa menggunakan segitiga siku-siku.
   - Misalkan kita tinjau segitiga siku-siku yang dibentuk oleh M, H, dan proyeksi M pada bidang yang melalui H dan tegak lurus MH. Namun, cara yang lebih umum adalah dengan mencari sudut antara MH dan garis pada bidang ADHE yang melalui H dan memiliki arah yang sama dengan proyeksi MH. 
   - Karena M adalah pusat bidang alas, jarak M ke AD adalah 12/2 = 6, dan jarak M ke AB adalah 12/2 = 6. Koordinat M bisa dianggap (6, 6, 0) jika A=(0,0,0), D=(0,12,0), H=(0,12,12), E=(0,0,12). Maka H=(0,12,12). Titik pada bidang ADHE yang terdekat dengan M adalah titik pada AD, yaitu (0,6,0). Jarak M ke bidang ADHE adalah 6. 
   - Alternatif lain: Proyeksi M pada bidang ADHE adalah titik tengah AD, yaitu Q. Segitiga MQH siku-siku di Q. MQ = 6, QH = 12. MH = sqrt(MQ^2 + QH^2) = sqrt(6^2 + 12^2) = sqrt(36+144) = sqrt(180).
   - Sudut antara MH dan bidang ADHE adalah sudut antara MH dan proyeksinya pada bidang ADHE, yaitu QH. Sin(sudut) = MQ/MH = 6/sqrt(180) = 6/(6*sqrt(5)) = 1/sqrt(5).
   - Sudut = arcsin(1/sqrt(5)) ≈ 26.57°.

2. Besar sudut antara garis BH dan bidang ADHE:
   - Garis BH adalah diagonal ruang kubus.
   - Bidang ADHE adalah salah satu sisi tegak kubus.
   - Proyeksi titik B pada bidang ADHE adalah titik E (karena BE tegak lurus bidang ADHE).
   - Proyeksi titik H pada bidang ADHE adalah titik H itu sendiri.
   - Maka, proyeksi garis BH pada bidang ADHE adalah garis EH.
   - Kita perlu mencari sudut antara garis BH dan garis EH.
   - Perhatikan segitiga siku-siku BEH, siku-siku di E.
   - BE = panjang rusuk = 12.
   - EH = panjang rusuk = 12.
   - BH = √(BE^2 + EH^2) = √(12^2 + 12^2) = √(144 + 144) = √288 = 12√2.
   - Sudut yang dicari adalah sudut ∠BHE.
   - Dalam segitiga siku-siku BEH:
     tan(∠BHE) = BE / EH = 12 / 12 = 1.
   - Maka, ∠BHE = arctan(1) = 45°.

Jadi, besar sudut antara garis MH dan bidang ADHE adalah arcsin(1/√5) atau sekitar 26.57°, dan besar sudut antara garis BH dan bidang ADHE adalah 45°.