Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 10Kelas 12Kelas 11mathGeometri Dimensi Tiga

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm .

Pertanyaan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm . Hitunglah jarak : a. Garis BF ke garis AG b. Garis BF ke garis ACGE

Solusi

Verified

a. 3√2 cm, b. 3√2 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. a. Jarak garis BF ke garis AG: Garis BF adalah rusuk vertikal, sedangkan AG adalah diagonal ruang. Untuk mencari jarak antara dua garis bersilangan, kita bisa menggunakan bantuan bidang atau vektor. Cara mudah adalah dengan membayangkan bidang yang tegak lurus terhadap salah satu garis dan memproyeksikan garis lainnya ke bidang tersebut, atau mencari vektor jarak tegak lurus. Mari kita gunakan pendekatan proyeksi pada bidang. Pertimbangkan bidang ABGH yang tegak lurus terhadap BF (misalnya di titik B). Proyeksi AG pada bidang ini adalah AB. Jarak antara BF dan AG sama dengan jarak antara titik B (pada BF) dan garis proyeksi AG pada bidang ABGH. Namun, AG tidak terletak pada bidang yang tegak lurus BF dengan cara yang mudah. Cara lain: Ambil titik pada BF, yaitu B (0,0,0) dan F (0,6,0) jika A=(0,0,0). Maka AG adalah vektor dari A(0,0,0) ke G(6,6,6). Vektor BF adalah (0,6,0). Jarak antara dua garis skew (bersilangan) L1 (melalui P dengan arah u) dan L2 (melalui Q dengan arah v) diberikan oleh |(Q-P) . (u x v)| / |u x v|. Misal P=B=(0,0,0), u = BF = (0,6,0) (misal sumbu y ke atas). Misal Q=A=(0,0,0), v = AG = (6,6,6). u x v = (0,6,0) x (6,6,6) = (36-0, 0-0, 0-36) = (36, 0, -36). |u x v| = sqrt(36^2 + 0^2 + (-36)^2) = sqrt(1296 + 1296) = sqrt(2592) = 36 * sqrt(2). (Q-P) = A - B = (0,0,0) - (0,0,0) = (0,0,0). Perhitungan ini menjadi nol jika kedua garis berpotongan atau sejajar, yang bukan kasusnya. Mari kita perbaiki penempatan titik. Misalkan A=(0,0,0), B=(6,0,0), C=(6,6,0), D=(0,6,0), E=(0,0,6), F=(6,0,6), G=(6,6,6), H=(0,6,6). Garis BF: melalui B(6,0,0) arah vektor BF = F-B = (0,0,6). Jadi BF adalah rusuk vertikal di pojok x=6, y=0. Garis AG: melalui A(0,0,0) arah vektor AG = G-A = (6,6,6). Kita perlu mencari jarak antara garis yang melalui B(6,0,0) dengan arah u=(0,0,1) dan garis yang melalui A(0,0,0) dengan arah v=(1,1,1) (sudah disederhanakan dari (6,6,6)). (Q-P) = A-B = (0,0,0) - (6,0,0) = (-6, 0, 0). u x v = (0,0,1) x (1,1,1) = (0*1 - 1*1, 1*1 - 0*1, 0*1 - 0*1) = (-1, 1, 0). |u x v| = sqrt((-1)^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2). (Q-P) . (u x v) = (-6, 0, 0) . (-1, 1, 0) = (-6)*(-1) + 0*1 + 0*0 = 6. Jarak = |6| / sqrt(2) = 6 / sqrt(2) = 6√2 / 2 = 3√2 cm. b. Jarak garis BF ke garis ACGE: Garis BF adalah rusuk vertikal (misal dari B ke F). Garis ACGE adalah bidang diagonal yang memuat diagonal AC dan EG. BF adalah rusuk kubus. ACGE adalah bidang diagonal. Jarak antara garis BF dan bidang ACGE adalah jarak dari titik B ke bidang ACGE atau titik F ke bidang ACGE. Karena BF sejajar dengan bidang ACGE (BF sejajar CG dan AE yang ada di bidang tersebut), jaraknya sama di sepanjang garis BF. Misalkan kita ambil titik B. Kita perlu mencari jarak dari B ke bidang ACGE. Dalam kubus dengan rusuk s: Bidang ACGE dibentuk oleh titik A, C, G, E. Bidang ini tegak lurus terhadap diagonal BD (dan FH). Jika kita letakkan A di (0,0,0), maka B=(s,0,0), C=(s,s,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s). Garis BF melalui B(s,0,0) dan F(s,0,s). Ini adalah rusuk vertikal di koordinat (s,0). Bidang ACGE melalui A(0,0,0), C(s,s,0), G(s,s,s), E(0,0,s). Perhatikan bahwa garis BF (misalnya dari B ke F) sejajar dengan garis AE dan CG, yang keduanya berada pada bidang ACGE. Dengan demikian, jarak antara garis BF dan bidang ACGE adalah sama dengan jarak antara titik B dan bidang ACGE, atau jarak antara titik F dan bidang ACGE. Karena BF sejajar dengan bidang ACGE, jaraknya adalah 0 jika BF berada di bidang tersebut. Namun, BF tidak berada di bidang ACGE. Mari kita lihat orientasi bidang ACGE. Vektor normal ke bidang ACGE bisa didapat dari perkalian silang dua vektor di bidang tersebut, misalnya AC dan AE. AC = C-A = (s,s,0) AE = E-A = (0,0,s) AC x AE = (s*s - 0*0, 0*0 - s*s, s*0 - s*0) = (s², -s², 0). Kita bisa sederhanakan normalnya menjadi (1, -1, 0). Persamaan bidang ACGE yang melalui A(0,0,0) dengan normal (1,-1,0) adalah: 1(x-0) - 1(y-0) + 0(z-0) = 0 x - y = 0. Sekarang kita cari jarak dari titik B(s,0,0) ke bidang x - y = 0. Jarak = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A² + B² + C²) Di sini, A=1, B=-1, C=0, D=0. Titik (x,y,z) = (s,0,0). Jarak = |1*s + (-1)*0 + 0*0 + 0| / sqrt(1² + (-1)² + 0²) Jarak = |s| / sqrt(1 + 1) Jarak = s / sqrt(2) Jarak = s√2 / 2. Dengan panjang rusuk s = 6 cm: Jarak = 6√2 / 2 = 3√2 cm. Jadi, jarak garis BF ke garis AG adalah 3√2 cm. Jarak garis BF ke bidang ACGE adalah 3√2 cm.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Jarak Titik Ke Garis, Jarak Garis Ke Bidang
Section: Kubus, Jarak Dalam Ruang

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...