Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. Jika a

Nilai tan alfa adalah √2, namun tidak ada di pilihan.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm. 
Misalkan titik O adalah pusat dari bidang alas ABCD.
Bidang BDG dibentuk oleh garis BG dan diagonal alas BD, serta garis CG. Sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis G0 (garis proyeksi G ke bidang ABCD) dan garis DO (diagonal BD).
Karena G tegak lurus terhadap bidang ABCD, maka GO adalah rusuk kubus yang tegak lurus dengan bidang ABCD. Jarak dari G ke bidang ABCD adalah panjang rusuknya, yaitu 6 cm. Proyeksi titik G pada bidang ABCD adalah titik C (jika alasnya ABCD) atau titik B (jika alasnya ABFE). Dalam konteks kubus ABCD.EFGH, jika alasnya adalah ABCD, maka proyeksi G adalah C. Namun, soal meminta sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD. Bidang BDG memotong bidang ABCD pada garis BD.

Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita ambil satu titik pada garis potong (BD), misalnya titik B. Tarik garis dari B yang tegak lurus BD di bidang ABCD, misalnya BA. Tarik garis dari B pada bidang BDG yang tegak lurus BD. Garis BG berada pada bidang BDG. Diagonal BG memiliki panjang: BG^2 = BC^2 + CG^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72. Jadi BG = sqrt(72) = 6*sqrt(2).

Mari kita tinjau ulang definisi sudut antara dua bidang. Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis, masing-masing terletak pada salah satu bidang, dan keduanya tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut di satu titik.
Garis potong antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah garis BD.
Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus BD di salah satu titiknya (misalnya D) adalah AD atau CD. Mari kita gunakan titik D.
Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang melalui D dan tegak lurus BD. Diagonal AG tegak lurus BD. Namun AG tidak berada pada bidang BDG. Garis DG berada pada bidang BDG. DG adalah diagonal sisi, dengan panjang DG = 6*sqrt(2).

Cara lain adalah dengan menggunakan proyeksi. Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis BG dan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi titik G pada bidang ABCD adalah titik C. Jadi proyeksi garis BG pada bidang ABCD adalah garis BC. Sudut yang dimaksud adalah sudut antara BG dan BC, yaitu sudut GBC. Segitiga GBC adalah segitiga siku-siku di C. 
Dengan BC = 6 (rusuk) dan CG = 6 (rusuk).
Tan (sudut GBC) = CG / BC = 6 / 6 = 1.
Jadi, sudut GBC = 45 derajat.

Namun, jika alfa adalah sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan bidang ABCD, kita harus melihat sudut antara garis yang tegak lurus bidang potong BD di titik yang sama.
Ambil titik D pada BD.
Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus BD di D adalah garis yang membentuk sudut 90 derajat dengan BD. Contohnya adalah garis yang melalui D dan tegak lurus BD. Garis AD tegak lurus AB, dan BD adalah diagonal. 

Mari kita gunakan proyeksi titik G ke bidang ABCD, yaitu titik C. Sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah sudut antara garis CG dan proyeksinya pada ABCD, yaitu BC. Ini adalah sudut GCB = 90 derajat.

Ada interpretasi lain: Sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis DG dan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi G pada ABCD adalah C. Proyeksi D pada ABCD adalah D. Jadi proyeksi DG pada ABCD adalah DC. Sudut yang dibentuk adalah sudut GDC. Segitiga GDC adalah segitiga siku-siku di C. GC = 6, DC = 6. Tan(GDC) = GC/DC = 6/6 = 1. Sudut GDC = 45 derajat.

Mari kita gunakan vektor. Bidang ABCD memiliki vektor normal k (0,0,1). Bidang BDG memuat vektor DB = (-6, 6, 0) dan DG = (0, 6, 6). Vektor normal bidang BDG bisa dicari dengan cross product DB x DG = (36, 36, -36). Kita bisa sederhanakan menjadi (1, 1, -1).
Sudut antara dua bidang adalah sudut antara vektor normalnya.
cos(theta) = |n1 . n2| / (|n1| |n2|)
n1 = (0,0,1), |n1| = 1
n2 = (1,1,-1), |n2| = sqrt(1^2 + 1^2 + (-1)^2) = sqrt(3)
n1 . n2 = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-1) = -1
cos(theta) = |-1| / (1 * sqrt(3)) = 1/sqrt(3).
Jika cos(theta) = 1/sqrt(3), maka tan(theta) = sqrt(2).

Mari kita gunakan geometri lagi. Misalkan O adalah titik tengah BD. Jarak dari O ke B adalah setengah diagonal alas. Diagonal alas BD = sqrt(6^2 + 6^2) = 6*sqrt(2). Jadi OB = 3*sqrt(2).
Dalam bidang ABCD, tarik garis dari O tegak lurus BD. Ini adalah garis AO atau CO. Panjang AO = CO = 3*sqrt(2).
Pada bidang BDG, kita perlu garis yang melalui O dan tegak lurus BD. Garis OG tegak lurus BD. Ini karena segitiga BDG tidak harus siku-siku di O. 

Perhatikan segitiga BGD. BG = GD = BD = 6*sqrt(2). Segitiga BGD adalah segitiga sama sisi.
Proyeksi G pada bidang ABCD adalah C. Proyeksi B pada bidang ABCD adalah B. Proyeksi D pada bidang ABCD adalah D. Bidang BDG memotong bidang ABCD pada garis BD.
Ambil titik M pada BD. Buat garis tegak lurus BD di M pada bidang ABCD, misalnya MN. Buat garis tegak lurus BD di M pada bidang BDG, misalnya MP.

Metode yang lebih mudah adalah dengan mengambil proyeksi G ke bidang ABCD, yaitu C. Jarak G ke bidang ABCD adalah GC = 6.
Proyeksi titik G ke bidang ABCD adalah C. 
Bidang BDG memotong bidang ABCD sepanjang garis BD.
Ambil titik tengah diagonal BD, sebut saja O. Panjang DO = 3 * sqrt(2).
Pada bidang ABCD, DO adalah bagian dari BD.
Pada bidang BDG, GO adalah garis tinggi dari G ke BD karena segitiga BGD adalah sama sisi (BG=GD=BD=6√2).
Jadi, sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara GO dan DO, yaitu sudut GOD.
Dalam segitiga siku-siku GOC (siku-siku di C), GO^2 = GC^2 + OC^2 = 6^2 + (3*sqrt(2))^2 = 36 + 18 = 54. GO = sqrt(54) = 3*sqrt(6).
Dalam segitiga siku-siku GOC, tan(∠GCO) = GO/OC = (3*sqrt(6))/(3*sqrt(2)) = sqrt(3). Jadi ∠GCO = 60 derajat.
Ini adalah sudut antara GO dan OC. Tetapi kita perlu sudut antara GO dan DO. DO adalah bagian dari diagonal BD.

Mari kita gunakan segitiga siku-siku GDO. GD = 6*sqrt(2), DO = 3*sqrt(2). Sudut GDO adalah sudut yang kita cari (alpha).
Dalam segitiga siku-siku GDC, tan(∠GDC) = GC/DC = 6/6 = 1. Jadi ∠GDC = 45 derajat.
Ini bukan sudut antara bidang.

Perhatikan segitiga siku-siku GOC, siku-siku di C. OC = 3*sqrt(2), GC = 6. GO = sqrt(OC^2 + GC^2) = sqrt((3*sqrt(2))^2 + 6^2) = sqrt(18 + 36) = sqrt(54) = 3*sqrt(6).
Sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan bidang ABCD adalah sudut antara garis GO dan garis DO (karena BD adalah perpotongan kedua bidang, dan GO tegak lurus BD, serta DO adalah bagian dari BD).
Dalam segitiga siku-siku GOC, kita bisa mencari tan(∠GOC). Tan(∠GOC) = GC / OC = 6 / (3*sqrt(2)) = 2 / sqrt(2) = sqrt(2).
Jadi, tan(alfa) = sqrt(2).

Mari kita cek pilihan: a. 6/7, b. 2 1/3, c. 2 16/21, d. 3. Pilihan ini tampaknya tidak sesuai dengan hasil tan(alfa)=sqrt(2). Mungkin ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban.

Jika kita mengasumsikan alfa adalah sudut antara garis BG dan bidang ABCD, maka proyeksi BG adalah BC. tan(∠GBC) = GC/BC = 6/6 = 1. Maka alfa = 45 derajat.

Jika kita mengasumsikan alfa adalah sudut antara garis DG dan bidang ABCD, maka proyeksi DG adalah DC. tan(∠GDC) = GC/DC = 6/6 = 1. Maka alfa = 45 derajat.

Jika kita mengasumsikan alfa adalah sudut antara garis AG dan bidang ABCD, maka proyeksi AG adalah AC. AC = 6*sqrt(2). AG = 6*sqrt(3). tan(∠GAC) = GC/AC = 6 / (6*sqrt(2)) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2.

Mari kita kembali ke definisi sudut antara dua bidang. Bidang BDG dan bidang ABCD. Garis potong BD.
Ambil titik D. AD tegak lurus BD. AD = 6.
Pada bidang BDG, kita perlu garis dari D yang tegak lurus BD. Garis DG tegak lurus BD? Tidak, karena BGD adalah segitiga sama sisi, GD tegak lurus BG, bukan BD.

Perhatikan segitiga siku-siku GDC, siku-siku di C. GC=6, DC=6. GD = 6*sqrt(2).
Perhatikan segitiga siku-siku GBC, siku-siku di C. GC=6, BC=6. GB = 6*sqrt(2).
Perhatikan segitiga siku-siku GDB, siku-siku di B? Tidak.

Sudut antara bidang BDG dan ABCD adalah sudut antara garis GC (yang tegak lurus bidang ABCD) dan garis proyeksinya pada bidang BDG. Proyeksi C pada bidang BDG adalah titik pada BD yang terdekat dengan C. Ini adalah titik O, titik tengah BD.
Jadi sudutnya adalah sudut GCO. Dalam segitiga siku-siku GOC (siku-siku di C), OC = 3*sqrt(2), GC = 6. tan(∠GOC) = GC/OC = 6 / (3*sqrt(2)) = 2/sqrt(2) = sqrt(2).

Jika soal mengacu pada sudut antara garis BG dan bidang ABCD, maka tan alfanya adalah 1.
Jika soal mengacu pada sudut antara garis DG dan bidang ABCD, maka tan alfanya adalah 1.

Mungkin maksud soal adalah sudut antara garis BG dengan bidang alas ABCD. Proyeksi BG pada alas ABCD adalah BC. Maka tan alfa = GC/BC = 6/6 = 1.

Mungkin maksud soal adalah sudut antara garis DG dengan bidang alas ABCD. Proyeksi DG pada alas ABCD adalah DC. Maka tan alfa = GC/DC = 6/6 = 1.

Jika kita ambil sudut antara bidang BCHE (salah satu bidang tegak) dan bidang ABCD, sudutnya adalah 90 derajat.

Mari kita asumsikan ada kesalahan penulisan pada soal dan maksudnya adalah sudut antara garis BG dengan bidang alas ABCD.
Dalam hal ini, proyeksi G pada bidang ABCD adalah C. Proyeksi B pada bidang ABCD adalah B. Maka proyeksi garis BG pada bidang ABCD adalah garis BC.
Sudut yang dibentuk adalah sudut antara BG dan BC, yaitu sudut GBC. Segitiga GBC adalah segitiga siku-siku di C. Dengan GC = 6 (tinggi kubus) dan BC = 6 (rusuk alas).
Maka tan(sudut GBC) = sisi depan / sisi samping = GC / BC = 6 / 6 = 1.
Jadi, tan alfa = 1.

Jika soal benar seperti itu, dan pilihan jawaban yang diberikan adalah a. 6/7, b. 2 1/3, c. 2 16/21, d. 3, maka tidak ada jawaban yang benar berdasarkan interpretasi umum. 
Namun, jika kita mempertimbangkan bahwa soal ini mungkin berasal dari sumber yang memiliki jawaban spesifik, dan kita harus memilih jawaban yang paling mendekati atau ada interpretasi lain.

Mari kita cek kembali sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD. Garis potong BD. Ambil titik D. AD tegak lurus BD. AD = 6. Pada bidang BDG, kita perlu garis dari D yang tegak lurus BD. Garis DG = 6*sqrt(2). Garis BG = 6*sqrt(2). Garis BD = 6*sqrt(2). Segitiga BDG sama sisi.

Jika kita proyeksikan titik G ke bidang ABCD, yaitu titik C. Jaraknya adalah 6. Proyeksi BD pada bidang BDG adalah BD itu sendiri. 

Perhatikan segitiga siku-siku BCD, siku-siku di C. BD = 6*sqrt(2).
Perhatikan segitiga siku-siku BCG, siku-siku di C. BG = 6*sqrt(2).
Perhatikan segitiga siku-siku DCG, siku-siku di C. DG = 6*sqrt(2).

Dalam kubus, sudut antara diagonal ruang dan bidang alas adalah arctan(rusuk/diagonal alas) = arctan(6/(6*sqrt(2))) = arctan(1/sqrt(2)).

Mari kita gunakan proyeksi O (titik tengah BD). O adalah pusat persegi ABCD. Jarak AO = CO = 3*sqrt(2).
Segitiga GOC siku-siku di C. GO = sqrt(GC^2 + OC^2) = sqrt(6^2 + (3*sqrt(2))^2) = sqrt(36 + 18) = sqrt(54) = 3*sqrt(6).
Alfa adalah sudut antara bidang BDG dan ABCD. Ini adalah sudut antara GO dan DO (atau BO).
Dalam segitiga siku-siku GOC, tan(∠GOC) = GC/OC = 6 / (3*sqrt(2)) = 2/sqrt(2) = sqrt(2).
Jadi, tan(alfa) = sqrt(2).

Karena pilihan jawaban tidak sesuai, mari kita periksa kemungkinan lain. Mungkin sudut alfa adalah sudut antara rusuk DG dan diagonal bidang BD.

Jika kita menganggap ada kesalahan pada soal dan seharusnya ditanyakan nilai tan dari sudut antara garis BG dan bidang alas ABCD, maka jawabannya adalah 1.

Jika kita mengasumsikan soal ini benar dan ada jawaban yang tepat di pilihan, mungkin ada cara lain untuk melihat sudutnya.

Consider the angle between the diagonal BG and the base plane ABCD. The projection of G onto the base plane is C. The projection of B onto the base plane is B. Thus, the projection of the line segment BG onto the base plane is the line segment BC. The angle between BG and the base plane is the angle ∠GBC. In the right-angled triangle GBC (right-angled at C), we have GC = 6 (height) and BC = 6 (base edge). Therefore, tan(∠GBC) = GC/BC = 6/6 = 1. So, tan(alpha) = 1, which means alpha = 45 degrees.

Let's consider the angle between the diagonal DG and the base plane ABCD. The projection of G onto the base plane is C. The projection of D onto the base plane is D. Thus, the projection of the line segment DG onto the base plane is the line segment DC. The angle between DG and the base plane is the angle ∠GDC. In the right-angled triangle GDC (right-angled at C), we have GC = 6 (height) and DC = 6 (base edge). Therefore, tan(∠GDC) = GC/DC = 6/6 = 1. So, tan(alpha) = 1, which means alpha = 45 degrees.

It is possible that the question meant the angle between the plane BDG and the plane ABFE (the top face). The intersection line is BF. The angle between the plane BDG and the plane EFGH (the bottom face of the top part) is similar to the angle with ABCD.

Let's assume the question is correct as stated and try to find a scenario where one of the answers could be correct. If tan(alfa) = 6/7, then alfa = arctan(6/7) approx 40.6 degrees. If tan(alfa) = 2 1/3 = 7/3, then alfa = arctan(7/3) approx 66.8 degrees. If tan(alfa) = 3, then alfa = arctan(3) approx 71.6 degrees.

Given the standard way these problems are posed, the angle between plane BDG and plane ABCD is likely intended to be calculated using the angle between the line segment GO (where O is the midpoint of BD) and the line segment OC (or OD). In right triangle GOC (right angled at C), tan(∠GOC) = GC/OC = 6 / (3√2) = 2/√2 = √2. So tan(alfa) = √2.

If we have to choose from the given options, and assuming there might be a mistake in the question or options, let's reconsider the problem setup. If the question asked for the angle between the diagonal AG and the base plane ABCD, then tan(alpha) = GC/AC = 6/(6√2) = 1/√2 = √2/2.

Let's search for similar problems online to see if there's a common interpretation that leads to the given answers.
Upon reviewing typical geometry problems involving cubes, the angle between a plane containing a diagonal of the base and a diagonal of the base itself, and the base plane, is often calculated as shown above, yielding tan(alpha) = √2. Since none of the options match √2, it is highly probable that either the question or the options are incorrect, or there's a very unconventional interpretation.

However, if we assume the question meant the angle between the face diagonal DG and the base plane ABCD, the angle would be ∠GDC, and tan(∠GDC) = GC/DC = 6/6 = 1.

Let's consider if the question meant the angle between the edge CG and the plane BDG. This doesn't make sense.

Given the impossibility of matching the provided options with standard geometric interpretations of the question, I cannot provide a definitive answer from the choices. However, the most standard interpretation for the angle between plane BDG and plane ABCD yields tan(alfa) = √2.