Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12Kelas 11Kelas 10mathVektorAljabar

Diberikan vektor a=2i+xj+yk, vektor b=yi+2j+zk, dan vektor

Pertanyaan

Diberikan vektor $\\vec{a} = 2\mathbf{i} + x\mathbf{j} + y\mathbf{k}$, vektor $\\vec{b} = y\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + z\mathbf{k}$, dan vektor $\\vec{c} = x\mathbf{i} + z\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$. Jika $\\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$, tentukan nilai dari x, y, dan z.

Solusi

Verified

$x=1, y=-1, z=3$

Pembahasan

Diberikan tiga vektor: $\\vec{a} = 2\mathbf{i} + x\mathbf{j} + y\mathbf{k}$ $\\vec{b} = y\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ $\\vec{c} = x\mathbf{i} + z\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ Diketahui bahwa $\\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$. Penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian: $(\\vec{a} + \vec{b})_x = a_x + b_x = 2 + y$ $(\\vec{a} + \vec{b})_y = a_y + b_y = x + 2$ $(\\vec{a} + \vec{b})_z = a_z + b_z = y + z$ Karena $\\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$, maka komponen-komponennya harus sama: 1. Komponen x: $2 + y = x$ 2. Komponen y: $x + 2 = z$ 3. Komponen z: $y + z = 2$ Sekarang kita memiliki sistem tiga persamaan linear dengan tiga variabel (x, y, z): (1) $y - x = -2$ (2) $x - z = -2$ (3) $y + z = 2$ Kita dapat menyelesaikan sistem ini. Salah satu caranya adalah dengan substitusi atau eliminasi. Dari persamaan (1), kita bisa dapatkan $y = x - 2$. Substitusikan ini ke persamaan (3): $(x - 2) + z = 2$ $x + z = 4$ Sekarang kita punya sistem baru dari dua persamaan dengan x dan z: (2) $x - z = -2$ (4) $x + z = 4$ Jumlahkan persamaan (2) dan (4): $(x - z) + (x + z) = -2 + 4$ $2x = 2$ $x = 1$ Sekarang substitusikan nilai $x = 1$ kembali ke persamaan (2) atau (4) untuk mencari z. Menggunakan persamaan (4): $1 + z = 4$ $z = 3$ Terakhir, substitusikan nilai $x = 1$ kembali ke persamaan (1) untuk mencari y: $y - 1 = -2$ $y = -1$ Atau, substitusikan nilai $z = 3$ ke persamaan (3): $y + 3 = 2$ $y = -1$ Jadi, nilai dari x, y, dan z adalah: $x = 1$ $y = -1$ $z = 3$ Untuk memverifikasi, kita bisa cek apakah $\\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$: $\\vec{a} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ $\\vec{b} = -\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ $\\vec{c} = 1\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ $\\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1))\mathbf{i} + (-1 + 2)\mathbf{j} + (3 + 3)\mathbf{k}$ $\\vec{a} + \vec{b} = 1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} + 6\mathbf{k}$ Sepertinya ada kesalahan dalam perhitungan saya atau dalam soalnya, karena hasil $\\vec{a} + \vec{b}$ tidak sama dengan $\\vec{c}$. Mari kita periksa kembali sistem persamaannya. Sistem Persamaan: (1) $2 + y = x \implies y - x = -2$ (2) $x + 2 = z \implies x - z = -2$ (3) $y + z = 2$ Persamaan (1): $y = x - 2$ Substitusi ke (3): $(x-2) + z = 2 \implies x + z = 4$ (Persamaan 4) Sekarang kita punya: (2) $x - z = -2$ (4) $x + z = 4$ Jumlahkan (2) dan (4): $2x = 2 \implies x = 1$ Substitusi $x=1$ ke (4): $1 + z = 4 \implies z = 3$ Substitusi $x=1$ ke (1): $y - 1 = -2 \implies y = -1$ Mari kita periksa $\\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$ lagi dengan $x=1, y=-1, z=3$.: $\\vec{a} = 2\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k}$ $\\vec{b} = -1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}$ $\\vec{c} = 1\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ $\\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1))\mathbf{i} + (1 + 2)\mathbf{j} + (-1 + 3)\mathbf{k}$ $\\vec{a} + \vec{b} = 1\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$ Ini sama dengan $\\vec{c}$. Jadi, nilai $x=1, y=-1, z=3$ adalah benar.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Operasi Vektor, Kesamaan Vektor
Section: Penjumlahan Vektor, Vektor Dalam Ruang Dimensi Tiga

Apakah jawaban ini membantu?