Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm . Jarak titik E

Jarak titik E ke garis AG adalah $\\frac{4\\sqrt{6}}{3}$ cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik E ke garis AG pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm, kita dapat menggunakan konsep proyeksi vektor atau teorema Pythagoras.

Misalkan kita letakkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius:
A = (0, 0, 0)
B = (4, 0, 0)
C = (4, 4, 0)
D = (0, 4, 0)
E = (0, 0, 4)
F = (4, 0, 4)
G = (4, 4, 4)
H = (0, 4, 4)

Rusuk kubus = 4 cm.

Kita ingin mencari jarak dari titik E ke garis AG.

Langkah 1: Tentukan vektor $\\vec{AG}$ dan $\\vec{AE}$.
$\\vec{AG} = G - A = (4, 4, 4) - (0, 0, 0) = (4, 4, 4)$
$\\vec{AE} = E - A = (0, 0, 4) - (0, 0, 0) = (0, 0, 4)$

Langkah 2: Cari proyeksi vektor $\\vec{AE}$ ke vektor $\\vec{AG}$.
Proyeksi skalar $\\vec{AE}$ ke $\\vec{AG}$ adalah $\\frac{\\vec{AE} \\cdot \\vec{AG}}{|\\vec{AG}|}$.
$\\vec{AE} \\cdot \\vec{AG} = (0)(4) + (0)(4) + (4)(4) = 16$
$|\\vec{AG}| = \\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \\sqrt{16 + 16 + 16} = \\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}$

Proyeksi skalar = $\\frac{16}{4\\sqrt{3}} = \\frac{4}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3}$

Proyeksi vektor $\\vec{AE}$ ke $\\vec{AG}$ adalah $(\\frac{4\\sqrt{3}}{3}) \\frac{\\vec{AG}}{|\\vec{AG}|} = \\frac{4\\sqrt{3}}{3} \\frac{(4, 4, 4)}{4\\sqrt{3}} = \\frac{1}{3}(4, 4, 4) = (\\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}, \\frac{4}{3})$

Misalkan titik P adalah proyeksi E pada garis AG. Maka P = A + Proyeksi vektor = $(0, 0, 0) + (\\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}) = (\\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}, \\frac{4}{3})$

Langkah 3: Cari jarak EP (jarak titik E ke garis AG).
Jarak EP = $|\\vec{EP}| = |\\vec{AP} - \\vec{AE}|$
$\\vec{EP} = P - E = (\\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}) - (0, 0, 4) = (\\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}, \\frac{4}{3} - \\frac{12}{3}) = (\\frac{4}{3}, \\frac{4}{3}, -\\frac{8}{3})$

$|\\vec{EP}| = \\sqrt{(\\frac{4}{3})^2 + (\\frac{4}{3})^2 + (-$\\frac{8}{3}$)^2}
$|\\vec{EP}| = \\sqrt{\\frac{16}{9} + \\frac{16}{9} + \\frac{64}{9}}
$|\\vec{EP}| = \\sqrt{\\frac{16+16+64}{9}}
$|\\vec{EP}| = \\sqrt{\\frac{96}{9}} = \\sqrt{\\frac{32}{3}} = \\frac{\\sqrt{32}}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{6}}{3}$

Cara Alternatif menggunakan Luas Segitiga:
Perhatikan segitiga AEG. Alasnya adalah AG, tingginya adalah jarak E ke AG.
Panjang sisi-sisi segitiga AEG:
AE = 4 (rusuk kubus)
EG = $\\sqrt{EH^2 + HG^2} = \\sqrt{4^2 + 4^2} = \\sqrt{16+16} = \\sqrt{32} = 4\\sqrt{2}$ (diagonal sisi)
AG = $\\sqrt{AB^2 + BC^2 + CG^2} = \\sqrt{4^2 + 4^2 + 4^2} = \\sqrt{16+16+16} = \\sqrt{48} = 4\\sqrt{3}$ (diagonal ruang)

Luas segitiga AEG dapat dihitung dengan rumus Heron, atau kita bisa melihat bahwa segitiga AEG adalah segitiga siku-siku di E jika kita melihat alasnya adalah AE dan tinggi EG (tapi ini salah).

Segitiga AEG adalah segitiga siku-siku di E jika kita melihat alas EG dan tinggi AE. Ini juga salah.

Mari kita gunakan luas segitiga dengan alas AG dan tinggi h (jarak E ke AG).
Luas $\\triangle AEG = \\frac{1}{2} \\times alas \\times tinggi = \\frac{1}{2} \\times AG \\times h$

Kita juga bisa menghitung luas $\\triangle AEG$ dengan alas AE dan tinggi EG jika $\\angle AEG = 90^\\circ$. Tapi $\\angle AEG$ bukan 90 derajat.

Perhatikan $\\triangle AEG$. Sisi-sisinya adalah AE=4, EG=$4\\sqrt{2}$, AG=$4\\sqrt{3}$.
Kita bisa gunakan rumus luas $\\frac{1}{2}ab \\sin C$. Misal kita ambil sudut $\\angle EAG$.
$\\cos(\\angle EAG) = \\frac{AE^2 + AG^2 - EG^2}{2 \\times AE \\times AG} = \\frac{4^2 + (4\\sqrt{3})^2 - (4\\sqrt{2})^2}{2 \\times 4 \\times 4\\sqrt{3}} = \\frac{16 + 48 - 32}{32\\sqrt{3}} = \\frac{32}{32\\sqrt{3}} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}$
$\\sin(\\angle EAG) = \\sqrt{1 - cos^2(\\angle EAG)} = \\sqrt{1 - (\\frac{1}{\\sqrt{3}})^2} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{3}} = \\sqrt{\\frac{2}{3}} = \\frac{\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{\\sqrt{6}}{3}$

Luas $\\triangle AEG = \\frac{1}{2} \\times AE \\times AG \\times sin(\\angle EAG) = \\frac{1}{2} \\times 4 \\times 4\\sqrt{3} \\times \\frac{\\sqrt{6}}{3} = 8\\sqrt{3} \\times \\frac{\\sqrt{6}}{3} = \\frac{8 \\sqrt{18}}{3} = \\frac{8 \\times 3\\sqrt{2}}{3} = 8\\sqrt{2}$

Sekarang samakan dengan rumus luas $\\frac{1}{2} \\times AG \\times h$:
$8\\sqrt{2} = \\frac{1}{2} \\times 4\\sqrt{3} \\times h$
$8\\sqrt{2} = 2\\sqrt{3} \\times h$
h = $\\frac{8\\sqrt{2}}{2\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{2}}{\\sqrt{3}} = \\frac{4\\sqrt{6}}{3}$

Jadi, jarak titik E ke garis AG adalah $\\frac{4\\sqrt{6}}{3}$ cm.