Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Titik M adalah

Jarak titik E ke garis CM adalah \(\frac{4\sqrt{30}}{5}\) cm.

Pembahasan

Untuk mencari jarak titik E ke garis CM pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm dan M sebagai titik tengah AB, kita dapat menggunakan konsep proyeksi vektor atau teorema Pythagoras.

Kita akan menggunakan sistem koordinat.
Misalkan A = (0,0,0).
Karena rusuk kubus adalah 4 cm, maka:
B = (4,0,0)
C = (4,4,0)
D = (0,4,0)
E = (0,0,4)
F = (4,0,4)
G = (4,4,4)
H = (0,4,4)

M adalah titik tengah AB, maka M = ((0+4)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (2,0,0).

Sekarang kita cari vektor CM:
$\vec{CM} = M - C = (2,0,0) - (4,4,0) = (-2, -4, 0)$

Kita juga perlu vektor CE:
$\vec{CE} = E - C = (0,0,4) - (4,4,0) = (-4, -4, 4)$

Jarak titik E ke garis CM adalah panjang proyeksi vektor CE pada vektor CM, dikurangi panjang proyeksi vektor CE pada vektor CM yang tegak lurus CM.
Namun, cara yang lebih mudah adalah mencari panjang proyeksi vektor $\vec{EC}$ pada vektor $\vec{CM}$.
$\vec{EC} = C - E = (4,4,0) - (0,0,4) = (4, 4, -4)$

Jarak titik E ke garis CM adalah panjang dari vektor $\vec{EC}$ dikurangi panjang proyeksi vektor $\vec{EC}$ pada vektor $\vec{CM}$.
Panjang proyeksi vektor $\vec{EC}$ pada vektor $\vec{CM}$ adalah:
$proyeksi = \frac{|\vec{EC} \cdot \vec{CM}|}{|\vec{CM}|}$
$\vec{EC} \cdot \vec{CM} = (4)(-2) + (4)(-4) + (-4)(0) = -8 - 16 + 0 = -24$
$|\vec{CM}| = \sqrt{(-2)² + (-4)² + 0²} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

$proyeksi = \frac{|-24|}{2\sqrt{5}} = \frac{24}{2\sqrt{5}} = \frac{12}{\sqrt{5}} = \frac{12\sqrt{5}}{5}$

Panjang vektor $\vec{EC}$ adalah:
$|\vec{EC}| = \sqrt{4² + 4² + (-4)²} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$

Jarak titik E ke garis CM adalah $\sqrt{|\vec{EC}|^2 - (proyeksi)^2}$
Jarak = $\sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (\frac{12\sqrt{5}}{5})^2}$
Jarak = $\sqrt{48 - \frac{144 \times 5}{25}}$
Jarak = $\sqrt{48 - \frac{144}{5}}$
Jarak = $\sqrt{\frac{240 - 144}{5}}$
Jarak = $\sqrt{\frac{96}{5}} = \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{6}}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{30}}{5}$

Jadi, jarak titik E ke CM adalah $\frac{4\sqrt{30}}{5}$ cm.