Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm dan M adalah

4√2 cm

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Kita perlu menghitung jarak dari titik M ke diagonal AG. Pertama, tentukan koordinat titik-titik. Misalkan A = (0,0,0), B = (8,0,0), D = (0,8,0), E = (0,0,8). Maka H = (0,8,8) dan G = (8,8,8). Titik M adalah titik tengah EH. Koordinat E = (0,0,8) dan H = (0,8,8). Maka M = (\(\frac{0+0}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{8+8}{2}\)) = (0,4,8). Diagonal AG menghubungkan titik A=(0,0,0) dan G=(8,8,8). Vektor AG = G - A = (8,8,8). Persamaan garis AG dapat ditulis sebagai \(r(t) = A + t \cdot AG = (0,0,0) + t(8,8,8) = (8t, 8t, 8t)\) untuk \(0 \le t \le 1\). Jarak dari titik M ke garis AG adalah jarak dari M ke titik terdekat pada garis AG. Misalkan titik terdekat pada garis AG adalah P. Maka P memiliki koordinat \((8t, 8t, 8t)\) untuk suatu nilai \(t\). Vektor MP = P - M = \((8t-0, 8t-4, 8t-8)\) = \((8t, 8t-4, 8t-8)\). Vektor MP harus tegak lurus terhadap vektor arah garis AG, yaitu (8,8,8). Hasil kali titik MP \(\cdot\) AG = 0. \((8t)(8) + (8t-4)(8) + (8t-8)(8) = 0\). Bagi seluruh persamaan dengan 8: \(8t + (8t-4) + (8t-8) = 0\). \(8t + 8t - 4 + 8t - 8 = 0\). \(24t - 12 = 0\). \(24t = 12\). \(t = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\). Sekarang kita substitusikan \(t=\frac{1}{2}\) ke dalam koordinat P: P = \((8(\frac{1}{2}), 8(\frac{1}{2}), 8(\frac{1}{2}))\) = (4,4,4). Sekarang hitung jarak antara M=(0,4,8) dan P=(4,4,4). Jarak MP = \(\sqrt{(4-0)^2 + (4-4)^2 + (4-8)^2}\). Jarak MP = \(\sqrt{(4)^2 + (0)^2 + (-4)^2}\). Jarak MP = \(\sqrt{16 + 0 + 16}\). Jarak MP = \(\sqrt{32}\). \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2}\). Jadi, jarak titik M ke AG adalah \(4\sqrt{2}\) cm.