Kelas 11Kelas 12Kelas 10mathAljabar
Jika akar-akar persamaan kuadrat: x^2-(t+2)x+8=0 adalah a
Pertanyaan
Jika akar-akar persamaan kuadrat x^2-(t+2)x+8=0 adalah a dan b dengan a<b dan a, b,(a+b) membentuk barisan aritmetika, tentukan nilai t.
Solusi
Verified
Nilai t adalah 4.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat x^2 - (t+2)x + 8 = 0 dengan akar-akar a dan b, di mana a < b dan a, b, (a+b) membentuk barisan aritmetika, kita perlu menggunakan beberapa sifat persamaan kuadrat dan barisan aritmetika. 1. **Sifat Akar Persamaan Kuadrat:** Dari persamaan x^2 - (t+2)x + 8 = 0, kita tahu bahwa: - Jumlah akar: a + b = -(-(t+2))/1 = t+2 - Hasil kali akar: a * b = 8/1 = 8 2. **Sifat Barisan Aritmetika:** Jika a, b, (a+b) membentuk barisan aritmetika, maka selisih antara suku berurutan adalah sama. Ini berarti: b - a = (a+b) - b b - a = a 2b = 2a b = a Namun, kita diberikan bahwa a < b. Ini menunjukkan ada kekeliruan dalam interpretasi atau soal. Mari kita asumsikan urutannya adalah a, b, dan a+b membentuk barisan aritmetika. Maka, selisihnya adalah: b - a = (a+b) - b b - a = a 2b = 2a b = a Ini kembali menghasilkan b = a, yang bertentangan dengan a < b. Mari kita coba urutan lain yang mungkin: a, (a+b), b. Ini juga tidak umum. Kemungkinan besar urutan yang dimaksud adalah suku pertama adalah 'a', suku kedua adalah 'b', dan suku ketiga adalah 'a+b'. Jika a, b, (a+b) adalah barisan aritmetika, maka: b - a = (a+b) - b b - a = a 2b = 2a b = a Ini bertentangan dengan a < b. Mari kita periksa kembali definisi barisan aritmetika. Jika tiga bilangan $u_1, u_2, u_3$ membentuk barisan aritmetika, maka $u_2 - u_1 = u_3 - u_2$, atau $2u_2 = u_1 + u_3$. Dalam kasus ini, $u_1 = a$, $u_2 = b$, $u_3 = a+b$. Maka, $2b = a + (a+b)$ $2b = 2a + b$ $b = 2a$ 3. **Substitusi ke Hasil Kali Akar:** Kita tahu bahwa $a imes b = 8$ dan $b = 2a$. Substitusikan $b = 2a$ ke dalam $a imes b = 8$: $a imes (2a) = 8$ $2a^2 = 8$ $a^2 = 4$ $a = pm{2}$ atau $a = -2$ 4. **Mencari Nilai b:** - Jika $a = 2$, maka $b = 2a = 2(2) = 4$. Barisannya adalah 2, 4, (2+4)=6. Ini adalah barisan aritmetika dengan beda 2. Akar-akarnya adalah a=2 dan b=4. Karena a < b, kondisi ini terpenuhi. - Jika $a = -2$, maka $b = 2a = 2(-2) = -4$. Barisannya adalah -2, -4, (-2 + -4)=-6. Ini adalah barisan aritmetika dengan beda -2. Akar-akarnya adalah a=-2 dan b=-4. Namun, syaratnya adalah a < b, dan -2 tidak lebih kecil dari -4. Jadi, kasus ini tidak memenuhi syarat. Jadi, kita gunakan $a=2$ dan $b=4$. 5. **Mencari Nilai t:** Kita tahu bahwa jumlah akar $a + b = t+2$. Dengan $a=2$ dan $b=4$, maka: $2 + 4 = t+2$ $6 = t+2$ $t = 6 - 2$ $t = 4$ Jadi, nilai t adalah 4.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Persamaan Kuadrat, Barisan Aritmetika
Section: Sifat Barisan Aritmetika, Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Apakah jawaban ini membantu?