Diketahui kubus ABCD.EFGH. Jika theta adalah sudut antara

sqrt(6)/3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin theta, di mana theta adalah sudut antara bidang AFH dan EFH pada kubus ABCD.EFGH, kita perlu memproyeksikan salah satu bidang ke bidang lainnya atau menggunakan konsep vektor.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.
Bidang AFH dibentuk oleh diagonal-diagonal ruang dan diagonal sisi.
Bidang EFH adalah salah satu bidang sisi kubus.

Mari kita gunakan pendekatan geometri:
Kita bisa mengambil titik P pada rusuk EH sehingga AP tegak lurus EH. Titik P adalah titik tengah EH.
Proyeksi bidang AFH ke bidang EFH akan membentuk sebuah garis. Sudut antara kedua bidang adalah sudut antara garis AP dan garis EP (atau FP).

Dalam segitiga siku-siku APE (di mana AE tegak lurus EH), AP adalah sisi miring.
AE = a
EP = a/2
AP = sqrt(AE^2 + EP^2) = sqrt(a^2 + (a/2)^2) = sqrt(a^2 + a^2/4) = sqrt(5a^2/4) = (a/2)sqrt(5)

Sekarang, pertimbangkan segitiga siku-siku APF (di mana AP tegak lurus FP).
AF adalah diagonal sisi = a * sqrt(2)
FP = a

Sudut theta adalah sudut antara bidang AFH dan EFH. Kita bisa menempatkan titik F sebagai titik referensi. Bidang EFH adalah bidang alas. Bidang AFH miring terhadap bidang alas.

Cara yang lebih mudah adalah dengan memvisualisasikan proyeksi titik A ke bidang EFH. Proyeksi titik A ke bidang EFH adalah titik E.
Jadi, sudut antara bidang AFH dan EFH adalah sudut antara garis AF dan garis EF.

Dalam segitiga siku-siku AEF (di mana AE tegak lurus EF):
AE = a
EF = a
AF = diagonal sisi = a * sqrt(2)

Sudut yang dibentuk oleh AF dengan bidang EFH adalah sudut AFE.

Dalam segitiga siku-siku AEF:
sin(sudut AFE) = AE / AF = a / (a * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = 1/2 * sqrt(2)
cos(sudut AFE) = EF / AF = a / (a * sqrt(2)) = 1 / sqrt(2) = 1/2 * sqrt(2)
tan(sudut AFE) = AE / EF = a / a = 1

Jadi, sudut AFE adalah 45 derajat.

Namun, soal menanyakan sudut antara bidang AFH dan EFH. Ini merujuk pada sudut di mana bidang AFH 'naik' dari bidang EFH. Kita perlu garis yang tegak lurus terhadap garis potong kedua bidang, yaitu garis FH.

Bidang EFH adalah bidang datar. Bidang AFH adalah bidang yang dibentuk oleh titik A, F, dan H.

Mari kita pertimbangkan vektor.
Misalkan E = (0,0,0), F = (a,0,0), H = (0,a,0), A = (0,0,a).

Bidang EFH terletak pada bidang xy (z=0). Vektor normal untuk bidang EFH adalah k = (0,0,1).

Untuk bidang AFH:
Titik A = (0,0,a)
Titik F = (a,0,0)
Titik H = (0,a,0)

Vektor FA = A - F = (0,0,a) - (a,0,0) = (-a, 0, a)
Vektor FH = H - F = (0,a,0) - (a,0,0) = (-a, a, 0)

Vektor normal untuk bidang AFH (N_AFH) adalah hasil perkalian silang FA x FH:
N_AFH = FA x FH = | i   j   k |
              | -a  0   a |
              | -a  a   0 |

N_AFH = i(0*0 - a*a) - j((-a)*0 - a*(-a)) + k((-a)*a - 0*(-a))
N_AFH = i(-a^2) - j(a^2) + k(-a^2)
N_AFH = (-a^2, -a^2, -a^2)
Kita bisa menyederhanakan vektor normal menjadi (1, 1, 1).

Sekarang kita punya vektor normal untuk kedua bidang:
N_EFH = (0, 0, 1)
N_AFH = (1, 1, 1)

Sudut theta antara dua bidang diberikan oleh sudut antara vektor normalnya:
cos(theta) = | N_EFH . N_AFH | / ( |N_EFH| * |N_AFH| )

N_EFH . N_AFH = (0)(1) + (0)(1) + (1)(1) = 1
|N_EFH| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1
|N_AFH| = sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = sqrt(3)

cos(theta) = |1| / (1 * sqrt(3)) = 1 / sqrt(3)

Jika cos(theta) = 1/sqrt(3), kita bisa mencari sin(theta) menggunakan identitas sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1.
sin^2(theta) = 1 - cos^2(theta)
sin^2(theta) = 1 - (1/sqrt(3))^2
sin^2(theta) = 1 - 1/3
sin^2(theta) = 2/3
sin(theta) = sqrt(2/3) = sqrt(2) / sqrt(3) = (sqrt(2) * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3)) = sqrt(6) / 3

Jadi, nilai sin theta adalah sqrt(6)/3.