Diketahui kubus ABCD.EFGH, titik K, L, M, dan N

Ketiga diagonal ruang kubus (AG, DF, CE) berpotongan dengan bidang KLMN di titik pusat kubus.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan titik tembus (perpotongan) antara diagonal ruang kubus dengan bidang yang dibentuk oleh titik-titik tengah rusuk-rusuk tegak kubus.

Untuk kubus ABCD.EFGH:
Titik A dapat dianggap sebagai (0,0,0).
B (s,0,0), C (s,s,0), D (0,s,0)
E (0,0,s), F (s,0,s), G (s,s,s), H (0,s,s)

Titik tengah:
K pada AE: (0,0,s/2)
L pada BF: (s,0,s/2)
M pada CG: (s,s,s/2)
N pada DH: (0,s,s/2)

Bidang KLMN adalah bidang yang sejajar dengan bidang ABCD dan EFGH, terletak di tengah-tengah ketinggian kubus.

1.  Garis AG:
    Garis AG menghubungkan A(0,0,0) dan G(s,s,s). Persamaan parametrik garis AG adalah (st, st, st) untuk t ∈ [0,1].
    Titik pada bidang KLMN memiliki koordinat (x,y,s/2).
    Agar titik pada garis AG berada pada bidang KLMN, maka koordinat z-nya harus s/2.
    st = s/2  => t = 1/2.
    Substitusikan t=1/2 ke persamaan parametrik: (s/2, s/2, s/2).
    Titik tembusnya adalah titik di tengah-tengah kubus, yaitu pusat dari kubus.

2.  Garis DF:
    Garis DF menghubungkan D(0,s,0) dan F(s,0,s). Persamaan parametrik garis DF adalah (st, s(1-t), st) untuk t ∈ [0,1].
    Agar titik pada garis DF berada pada bidang KLMN, maka koordinat z-nya harus s/2.
    st = s/2 => t = 1/2.
    Substitusikan t=1/2 ke persamaan parametrik: (s/2, s(1-1/2), s/2) = (s/2, s/2, s/2).
    Titik tembusnya adalah titik di tengah-tengah kubus.

3.  Garis CE:
    Garis CE menghubungkan C(s,s,0) dan E(0,0,s). Persamaan parametrik garis CE adalah (s(1-t), s(1-t), st) untuk t ∈ [0,1].
    Agar titik pada garis CE berada pada bidang KLMN, maka koordinat z-nya harus s/2.
    st = s/2 => t = 1/2.
    Substitusikan t=1/2 ke persamaan parametrik: (s(1-1/2), s(1-1/2), s/2) = (s/2, s/2, s/2).
    Titik tembusnya adalah titik di tengah-tengah kubus.

Kesimpulan: Ketiga diagonal ruang (AG, DF, CE) berpotongan pada satu titik yang sama, yaitu pusat kubus, yang juga merupakan titik potong dengan bidang KLMN.