Diketahui kubus ABCDEFGHdengan panjang rusuk 4 cm. P

4/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai tan alpha dan tan beta terlebih dahulu.

Kubus ABCDEFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P terletak pada pertengahan BC.

1.  **Mencari tan alpha (sudut antara garis PH dengan bidang ABCD):**
    Bidang ABCD adalah bidang alas kubus. Proyeksi garis PH pada bidang ABCD adalah garis PA. Maka, alpha adalah sudut antara PH dan PA, yaitu sudut HPA.
    Dalam segitiga siku-siku ABH (salah satu sisi kubus), AH = √(AB^2 + BH^2) = √(4^2 + 4^2) = √(16+16) = √32 = 4√2 cm.
    BP = 1/2 * BC = 1/2 * 4 cm = 2 cm.
    Dalam segitiga siku-siku PAB, AP = √(AB^2 + BP^2) = √(4^2 + 2^2) = √(16+4) = √20 = 2√5 cm.
    Sekarang kita punya segitiga siku-siku HAP (karena AH tegak lurus dengan AP).
    Tan alpha = tan(HPA) = AH / AP = (4√2) / (2√5) = 2√2 / √5 = 2√10 / 5.

2.  **Mencari tan beta (sudut antara garis PH dengan bidang ADHE):**
    Bidang ADHE adalah salah satu bidang sisi tegak kubus. Proyeksi garis PH pada bidang ADHE adalah garis PE.
    Maka, beta adalah sudut antara PH dan PE, yaitu sudut HPE.
    PE = √(PS^2 + SE^2), di mana S adalah titik tengah EH. Atau, kita bisa melihat segitiga siku-siku PDE, di mana PD = √(PS^2 + DS^2) jika S adalah proyeksi P ke AD. Namun, lebih mudah menggunakan segitiga siku-siku PSE, di mana PS adalah jarak P ke EH, yang sama dengan panjang rusuk AE = 4 cm. SE = 1/2 EH = 1/2 * 4 cm = 2 cm.
    Ini salah, proyeksi PH ke ADHE adalah garis EH, bukan PE. Proyeksi H ke bidang ADHE adalah H. Proyeksi P ke bidang ADHE adalah titik pada ADHE yang berjarak sama dari P. Karena P ada di BC, proyeksinya ke ADHE adalah titik pada AE. Proyeksi P ke ADHE adalah titik Q pada AE sehingga PQ sejajar AB dan PQ = AB = 4 cm. Ini tidak membantu. 
    Mari kita perbaiki: Proyeksi titik P pada bidang ADHE adalah titik pada garis AE yang sama tingginya dengan P. Karena P ada di BC, dan BC sejajar AD, maka jarak P ke bidang ADHE sama dengan jarak AB, yaitu 4 cm. Proyeksi P ke bidang ADHE adalah titik pada AE. Jika kita buat bidang yang melalui P sejajar ADHE, maka proyeksinya adalah titik pada AE. 
    Perbaikan: Bidang ADHE adalah bidang sisi. Kita perlu mencari titik pada bidang ADHE yang terdekat dengan H dan P. Proyeksi P pada bidang ADHE adalah titik pada AE. Karena P pada BC, proyeksi P pada ADHE adalah titik pada AE yang berjarak sama dari E seperti jarak P dari B. PQ sejajar AB, PQ=4. Ini tidak membantu. 
    Sudut antara garis PH dan bidang ADHE. Bidang ADHE dibentuk oleh AD, DH, HE, EA. 
    Proyeksi H pada bidang ADHE adalah H.
    Proyeksi P pada bidang ADHE adalah titik Q pada AE sehingga PQ sejajar AB.
    Ini masih salah. P ada di BC. Proyeksi P pada ADHE adalah titik pada garis AE. 
    Mari kita gunakan vektor atau jarak.
    Misalkan A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(4,4,0), D=(0,4,0), E=(0,0,4), F=(4,0,4), G=(4,4,4), H=(0,4,4).
P adalah pertengahan BC, jadi P = ((4+4)/2, (0+4)/2, (0+0)/2) = (4, 2, 0).

Bidang ADHE adalah bidang x=0.

1.  **Sudut alpha (PH dengan bidang ABCD (z=0)):**
    Vektor PH = H - P = (0,4,4) - (4,2,0) = (-4, 2, 4).
    Normal bidang ABCD adalah k = (0,0,1).
    Sin alpha = |PH . k| / (||PH|| * ||k||)
    ||PH|| = sqrt((-4)^2 + 2^2 + 4^2) = sqrt(16 + 4 + 16) = sqrt(36) = 6.
    ||k|| = 1.
    PH . k = (-4)(0) + (2)(0) + (4)(1) = 4.
    Sin alpha = |4| / (6 * 1) = 4/6 = 2/3.
    Cos alpha = sqrt(1 - sin^2 alpha) = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3.
    Tan alpha = sin alpha / cos alpha = (2/3) / (sqrt(5)/3) = 2/sqrt(5) = 2√5 / 5.

    **Perhitungan ulang tan alpha dengan geometri:**
    Dalam segitiga siku-siku PAH (dengan sudut siku-siku di A, jika PH diproyeksikan ke AB):
    Ini tidak benar. Proyeksi PH ke bidang ABCD adalah PA. Sudut alpha adalah sudut HPA.
    Kita perlu segitiga yang mengandung PH dan proyeksinya PA. Segitiga siku-siku ABH: AH = 4√2. P di BC, P=(4,2,0) -> ini koordinat, P di pertengahan BC. Misal A=(0,0,0), B=(4,0,0), C=(4,4,0), D=(0,4,0), E=(0,0,4), F=(4,0,4), G=(4,4,4), H=(0,4,4).
P adalah pertengahan BC. B=(4,0,0), C=(4,4,0). P = (4, 2, 0).
H = (0,4,4).
Proyeksi P pada bidang ABCD (z=0) adalah P sendiri.
Proyeksi H pada bidang ABCD adalah titik (0,4,0) yaitu D.
Proyeksi garis PH pada bidang ABCD adalah garis PD.
Sudut alpha adalah sudut antara PH dan PD, yaitu sudut HPD.
Dalam segitiga siku-siku PDM (M titik tengah BC, P adalah titik tengah BC), DH = 4.
Segitiga siku-siku PDM tidak ada. Segitiga siku-siku PHD.
PH = 6 (sudah dihitung).
PD = Jarak dari P=(4,2,0) ke D=(0,4,0).
PD = sqrt((4-0)^2 + (2-4)^2 + (0-0)^2) = sqrt(4^2 + (-2)^2) = sqrt(16+4) = sqrt(20) = 2√5.
HD = 4.
Segitiga PDH. cos(HPD) = (PD^2 + PH^2 - HD^2) / (2 * PD * PH)
cos(alpha) = ((2√5)^2 + 6^2 - 4^2) / (2 * 2√5 * 6)
cos(alpha) = (20 + 36 - 16) / (24√5)
cos(alpha) = 40 / (24√5) = 5 / (3√5) = 5√5 / 15 = √5 / 3.
Ini cocok dengan hasil vektor.
Tan alpha = sqrt(1/cos^2 alpha - 1) = sqrt(1/(5/9) - 1) = sqrt(9/5 - 1) = sqrt(4/5) = 2/√5 = 2√5 / 5.
Ini cocok.

2.  **Sudut beta (PH dengan bidang ADHE (x=0)):**
    Bidang ADHE adalah bidang x=0.
Vektor PH = (-4, 2, 4).
Normal bidang ADHE adalah i = (1,0,0).
Sin beta = |PH . i| / (||PH|| * ||i||)
||PH|| = 6.
||i|| = 1.
PH . i = (-4)(1) + (2)(0) + (4)(0) = -4.
Sin beta = |-4| / (6 * 1) = 4/6 = 2/3.
Cos beta = sqrt(1 - sin^2 beta) = sqrt(1 - (2/3)^2) = sqrt(1 - 4/9) = sqrt(5/9) = sqrt(5)/3.
Tan beta = sin beta / cos beta = (2/3) / (sqrt(5)/3) = 2/sqrt(5) = 2√5 / 5.

    **Perhitungan ulang tan beta dengan geometri:**
    Bidang ADHE. P=(4,2,0), H=(0,4,4).
    Proyeksi P pada bidang ADHE (x=0) adalah titik Q=(0,2,0) (titik pada AD yang berjarak 2 dari A).
    Proyeksi H pada bidang ADHE adalah H=(0,4,4).
    Proyeksi garis PH pada bidang ADHE adalah garis QH.
    Sudut beta adalah sudut antara PH dan QH, yaitu sudut PHQ.
    QH = Jarak dari Q=(0,2,0) ke H=(0,4,4).
    QH = sqrt((0-0)^2 + (4-2)^2 + (4-0)^2) = sqrt(0 + 2^2 + 4^2) = sqrt(4+16) = sqrt(20) = 2√5.
    PH = 6.
    PQ = Jarak dari P=(4,2,0) ke Q=(0,2,0).
    PQ = sqrt((4-0)^2 + (2-2)^2 + (0-0)^2) = sqrt(4^2) = 4.
    Segitiga PQH siku-siku di Q (karena PQ tegak lurus bidang ADHE).
    Tan beta = tan(PHQ) = PQ / QH = 4 / (2√5) = 2 / √5 = 2√5 / 5.
    Ini cocok.

3.  **Menghitung (tan alpha * tan beta):**
    (tan alpha) * (tan beta) = (2√5 / 5) * (2√5 / 5)
    = (4 * 5) / 25
    = 20 / 25
    = 4 / 5.

Jadi, nilai dari (tan alpha tan beta) adalah 4/5.