Diketahui kubus ABDC.EFGH, rusuk-rusuknya 10 cm. Jarak

Jarak titik F ke garis AC adalah 5√6 cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABDC.EFGH dengan panjang rusuk \(s = 10\) cm. Kita perlu mencari jarak titik F ke garis AC. 

Dalam kubus, titik F berada pada bidang atas (EFGH) dan titik A dan C berada pada bidang alas (ABDC). Garis AC merupakan diagonal alas. 

Untuk memvisualisasikan, mari kita letakkan kubus dalam sistem koordinat. Misalkan titik A berada di \((0,0,0)\), B di \((10,0,0)\), D di \((0,10,0)\), dan C di \((10,10,0)\). Maka, titik E berada di \((0,0,10)\), F di \((10,0,10)\), G di \((10,10,10)\), dan H di \((0,10,10)\). 

Titik F memiliki koordinat \((10,0,10)\). 
Garis AC terletak pada bidang xy (z=0) dan melewati titik A \((0,0,0)\) dan C \((10,10,0)\). Persamaan garis AC dapat dinyatakan sebagai \(y=x\) pada \(z=0\). 

Untuk mencari jarak dari titik F ke garis AC, kita bisa menggunakan konsep proyeksi atau mencari titik terdekat pada garis AC ke F. 

Cara yang lebih mudah adalah dengan memperhatikan geometri kubus. Jarak terpendek dari F ke garis AC akan tegak lurus terhadap AC. 

Perhatikan bidang diagonal ADGF. Titik F \((10,0,10)\) dan garis AC \((0,0,0)\) ke \((10,10,0)\). 
Jarak dari F ke garis AC sama dengan jarak dari F ke proyeksinya pada bidang alas (atau bidang yang mengandung AC). Proyeksi F pada bidang alas adalah titik E \((0,0,10)\) jika kita meletakkan A di (0,0,0) dan rusuk sejajar sumbu. Namun, jika kita menggunakan koordinat A=(0,0,0), B=(10,0,0), D=(0,10,0), C=(10,10,0), maka F=(10,0,10). Garis AC adalah garis dari (0,0,0) ke (10,10,0). 

Titik pada garis AC yang terdekat dengan F adalah titik M. Vektor AC = \(C - A = (10,10,0)\). Vektor AF = \(F - A = (10,0,10)\). 

Proyeksi vektor AF pada vektor AC adalah: 
 \(	ext{proj}_{	ext{AC}} 	ext{AF} = rac{	ext{AF} oldsymbol{\cdot} 	ext{AC}}{	ext{AC} oldsymbol{\cdot} 	ext{AC}} 	ext{AC}\) 
 \(	ext{AF} oldsymbol{\cdot} 	ext{AC} = (10)(10) + (0)(10) + (10)(0) = 100\) 
 \(	ext{AC} oldsymbol{\cdot} 	ext{AC} = 10^2 + 10^2 + 0^2 = 100 + 100 = 200\) 

 \(	ext{proj}_{	ext{AC}} 	ext{AF} = rac{100}{200} 	ext{AC} = rac{1}{2} 	ext{AC}\) 

Ini berarti titik M, proyeksi F pada garis AC, adalah titik tengah dari AC. Koordinat M adalah \((rac{0+10}{2}, rac{0+10}{2}, rac{0+0}{2}) = (5,5,0)\). 

Sekarang kita hitung jarak antara F \((10,0,10)\) dan M \((5,5,0)\). 
 Jarak FM = \(\sqrt{(10-5)^2 + (0-5)^2 + (10-0)^2}\) 
 Jarak FM = \(\sqrt{5^2 + (-5)^2 + 10^2}\) 
 Jarak FM = \(\sqrt{25 + 25 + 100}\) 
 Jarak FM = \(\sqrt{150}\) 
 Jarak FM = \(\sqrt{25 \times 6}\) 
 Jarak FM = \(5\sqrt{6}\) cm. 

Alternatif lain, perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh F, titik tengah AC (misal P), dan C. Atau lebih mudah, segitiga siku-siku yang dibentuk oleh F, proyeksi F pada bidang alas (yaitu E jika kita menempatkan A di (0,0,0), B(10,0,0), D(0,10,0), C(10,10,0), F(10,0,10)), dan titik pada AC. 

Mari kita gunakan bidang diagonal ACGE. Panjang AG adalah diagonal ruang. AC adalah diagonal alas. 
Perhatikan segitiga siku-siku FCE. FC = \(\sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2}\). FE = 10. CE = 10. 

Kembali ke koordinat: A=(0,0,0), C=(10,10,0), F=(10,0,10). 

Jarak dari F ke garis AC. 
 Misalkan titik pada garis AC adalah P(t,t,0) untuk suatu t. 
 Vektor FP = (t-10, t-0, 0-10) = (t-10, t, -10). 
 Agar FP tegak lurus dengan AC, maka FP \(\boldsymbol{\cdot}\) AC = 0. 
 Vektor AC = (10,10,0). 
 (t-10)*10 + t*10 + (-10)*0 = 0 
 10t - 100 + 10t = 0 
 20t = 100 
 t = 5. 
 
Jadi titik terdekat pada AC adalah P(5,5,0). 
 Jarak FP = \(\sqrt{(5-10)^2 + (5-0)^2 + (0-10)^2}\) 
 Jarak FP = \(\sqrt{(-5)^2 + 5^2 + (-10)^2}\) 
 Jarak FP = \(\sqrt{25 + 25 + 100}\) 
 Jarak FP = \(\sqrt{150}\) 
 Jarak FP = \(5\sqrt{6}\) cm.