Diketahui kubus MATH.CLUB dengan panjang rusuk 6 cm dan

$\sqrt{30}$ cm

Pembahasan

Kubus MATH.CLUB memiliki panjang rusuk 6 cm. Titik K adalah perpotongan antardiagonal MT dan AH. Kita perlu mencari jarak titik C ke garis UK. Pertama, mari kita tentukan koordinat titik-titik pada kubus. Misalkan M = (0, 6, 0), A = (0, 0, 0), T = (6, 0, 0), H = (6, 6, 0), C = (6, 6, 6), U = (0, 6, 6). Diagonal MT memiliki persamaan parametrik: $M + t(T-M) = (0, 6, 0) + t(6, -6, 0) = (6t, 6-6t, 0)$. Diagonal AH memiliki persamaan parametrik: $A + s(H-A) = (0, 0, 0) + s(6, 6, 0) = (6s, 6s, 0)$. Titik K adalah perpotongan MT dan AH, sehingga $6t = 6s$ dan $6-6t = 6s$. Dari sini, $t=s$. Maka $6-6t = 6t$, sehingga $6 = 12t$, atau $t = 1/2$. Jadi, K = (3, 3, 0). Sekarang kita perlu mencari jarak titik C(6, 6, 6) ke garis UK. Vektor UK = K - U = (3, 3, 0) - (0, 6, 6) = (3, -3, -6). Jarak dari titik C ke garis yang melalui U dengan arah vektor v adalah $|(C-U) 	imes v| / |v|$. Di sini, $C-U = (6, 6, 6) - (0, 6, 6) = (6, 0, 0)$. Vektor arah garis UK adalah $v = K-U = (3, -3, -6)$. Maka, $(C-U) 	imes v = (6, 0, 0) 	imes (3, -3, -6) = (0 	imes -6 - 0 	imes -3, 0 	imes 3 - 6 	imes -6, 6 	imes -3 - 0 	imes 3) = (0, 36, -18)$. $|(C-U) 	imes v| = \sqrt{0^2 + 36^2 + (-18)^2} = \sqrt{1296 + 324} = \sqrt{1620}$. $|v| = |UK| = \sqrt{3^2 + (-3)^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 9 + 36} = \sqrt{54}$. Jarak = $\sqrt{1620} / \sqrt{54} = \sqrt{1620/54} = \sqrt{30}$.