Diketahui kubus PQRS.TUVW. Besar sudut antara garis PW dan

Besar sudut antara garis PW dan QT pada kubus PQRS.TUVW adalah 60 derajat.

Pembahasan

Untuk menentukan besar sudut antara garis PW dan QT pada kubus PQRS.TUVW, kita perlu menggunakan konsep vektor atau proyeksi.

Misalkan kita tempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius. Misalkan P berada di titik asal (0,0,0).
Jika panjang rusuk kubus adalah 'a', maka koordinat titik-titiknya adalah:
P = (0, 0, 0)
Q = (a, 0, 0)
R = (a, a, 0)
S = (0, a, 0)
T = (0, 0, a)
U = (a, 0, a)
V = (a, a, a)
W = (0, a, a)

Garis PW direpresentasikan oleh vektor $\vec{PW}$. Vektor ini dari P ke W, sehingga $\vec{PW}$ = W - P = (0, a, a) - (0, 0, 0) = (0, a, a).

Garis QT direpresentasikan oleh vektor $\vec{QT}$. Vektor ini dari Q ke T, sehingga $\vec{QT}$ = T - Q = (0, 0, a) - (a, 0, 0) = (-a, 0, a).

Untuk mencari sudut antara dua garis, kita dapat menggunakan hasil kali titik (dot product) dari vektor arah kedua garis tersebut:
$\vec{PW} \cdot \vec{QT} = |\vec{PW}| |\vec{QT}| \cos \theta$

Hitung hasil kali titik:
$\vec{PW} \cdot \vec{QT} = (0)(-a) + (a)(0) + (a)(a) = 0 + 0 + a^2 = a^2$

Hitung panjang vektor PW:
$|\vec{PW}| = \sqrt{(0)^2 + (a)^2 + (a)^2} = \sqrt{0 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Hitung panjang vektor QT:
$|\vec{QT}| = \sqrt{(-a)^2 + (0)^2 + (a)^2} = \sqrt{a^2 + 0 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Sekarang substitusikan ke dalam rumus hasil kali titik:
$a^2 = (a\sqrt{2})(a\sqrt{2}) \cos \theta$
$a^2 = (2a^2) \cos \theta$

$\\cos \theta = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

$\\theta = \arccos{\left(\frac{1}{2}\right)}$
$\\theta = 60^\circ$

Jadi, besar sudut antara garis PW dan QT adalah 60 derajat.