Diketahui kurva f(x)= px^2+(p+2)x+(p+q-1) memotong sumbu-y

Titik puncak kurva adalah (3/2, 1/8).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan untuk menemukan nilai p dan q terlebih dahulu.

1. **Titik potong sumbu-y:**
Kurva memotong sumbu-y di P(0, -1). Ini berarti ketika x=0, f(x)=-1.
Substitusikan ke dalam persamaan kurva: f(0) = p(0)^2 + (p+2)(0) + (p+q-1)
-1 = 0 + 0 + p+q-1
-1 = p+q-1
p+q = 0
Ini adalah persamaan pertama.

2. **Absis titik tengah QR:**
Titik Q dan R adalah titik potong kurva dengan sumbu-x. Ini berarti f(x)=0 di titik-titik tersebut. Misalkan akar-akarnya adalah x1 dan x2.
Menurut Vieta, jumlah akar-akar (x1+x2) adalah -(koefisien x) / (koefisien x^2) = -(p+2)/p.
Absis titik tengah QR adalah (x1+x2)/2.
Kita diberi tahu bahwa absis titik tengah QR adalah 3/2.
Jadi, (x1+x2)/2 = 3/2
x1+x2 = 3
Substitusikan rumus jumlah akar:
-(p+2)/p = 3
-p-2 = 3p
4p = -2
p = -2/4 = -1/2

3. **Mencari nilai q:**
Gunakan persamaan pertama (p+q = 0) dan nilai p = -1/2:
-1/2 + q = 0
q = 1/2

4. **Menentukan persamaan kurva:**
Sekarang kita tahu p = -1/2 dan q = 1/2. Substitusikan nilai-nilai ini ke dalam persamaan kurva:
f(x) = (-1/2)x^2 + (-1/2 + 2)x + (-1/2 + 1/2 - 1)
f(x) = -1/2 x^2 + (3/2)x - 1

5. **Mencari titik puncak:**
Titik puncak kurva f(x) = ax^2 + bx + c adalah (-b/2a, f(-b/2a)).
Dalam kasus ini, a = -1/2 dan b = 3/2.
Absis titik puncak = -b/2a = -(3/2) / (2 * (-1/2)) = -(3/2) / (-1) = 3/2.
Koordinat y titik puncak = f(3/2)
f(3/2) = -1/2 (3/2)^2 + (3/2)(3/2) - 1
f(3/2) = -1/2 (9/4) + 9/4 - 1
f(3/2) = -9/8 + 18/8 - 8/8
f(3/2) = ( -9 + 18 - 8 ) / 8 = 1/8

Jadi, titik puncak kurva tersebut adalah (3/2, 1/8).