Diketahui kurva y1=akar(x+8) dan y2=x. Tentukan batas-batas

-8 <= x < (1 + sqrt(33))/2

Pembahasan

Kita diberikan dua kurva: y1 = akar(x+8) dan y2 = x. Kita perlu menentukan batas-batas nilai x agar kurva y1 berada di atas kurva y2.

Agar kurva y1 berada di atas kurva y2, maka nilai y1 harus lebih besar dari nilai y2:
 akar(x+8) > x.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: x < 0
Jika x < 0, maka ruas kanan (x) negatif. Ruas kiri (akar(x+8)) selalu non-negatif (karena akar kuadrat menghasilkan nilai non-negatif). Oleh karena itu, untuk semua nilai x yang membuat x < 0 dan x+8 >= 0 (yaitu, -8 <= x < 0), pertidaksamaan akar(x+8) > x akan selalu terpenuhi.
Jadi, dari kasus ini, kita mendapatkan interval -8 <= x < 0.

Kasus 2: x >= 0
Jika x >= 0, kedua ruas pertidaksamaan adalah non-negatif. Kita bisa mengkuadratkan kedua ruas tanpa mengubah arah pertidaksamaan:
(akar(x+8))^2 > x^2
x + 8 > x^2.

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
0 > x^2 - x - 8.
Atau,
x^2 - x - 8 < 0.

Untuk menemukan kapan pertidaksamaan ini berlaku, kita cari dulu akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - x - 8 = 0 menggunakan rumus abc:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a=1, b=-1, c=-8.

x = [ -(-1) ± sqrt((-1)^2 - 4(1)(-8)) ] / 2(1)
x = [ 1 ± sqrt(1 + 32) ] / 2
x = [ 1 ± sqrt(33) ] / 2.

Akar-akarnya adalah x1 = (1 - sqrt(33)) / 2 dan x2 = (1 + sqrt(33)) / 2.

Karena koefisien x^2 positif (1), parabola membuka ke atas. Jadi, x^2 - x - 8 < 0 ketika x berada di antara kedua akar tersebut:
(1 - sqrt(33)) / 2 < x < (1 + sqrt(33)) / 2.

Kita juga harus ingat bahwa kita berada dalam Kasus 2, yaitu x >= 0. Jadi, kita perlu mencari irisan antara interval ini dan x >= 0:
0 <= x < (1 + sqrt(33)) / 2.

sqrt(33) kira-kira 5.74. Jadi, (1 + 5.74) / 2 = 6.74 / 2 = 3.37.
Jadi, intervalnya adalah 0 <= x < 3.37 (kira-kira).

Sekarang kita gabungkan hasil dari kedua kasus:
Dari Kasus 1: -8 <= x < 0.
Dari Kasus 2: 0 <= x < (1 + sqrt(33)) / 2.

Pertanyaan meminta agar y1 berada di atas y2, yang berarti akar(x+8) > x.
Dalam Kasus 1 (x < 0), ini selalu benar jika akar(x+8) terdefinisi. Agar akar(x+8) terdefinisi, x+8 >= 0, sehingga x >= -8. Jadi, untuk Kasus 1, kita punya -8 <= x < 0.

Dalam Kasus 2 (x >= 0), kita kuadratkan kedua sisi: x+8 > x^2, atau x^2 - x - 8 < 0. Akar-akarnya adalah (1 ± sqrt(33))/2. Karena parabola terbuka ke atas, x^2 - x - 8 < 0 ketika (1 - sqrt(33))/2 < x < (1 + sqrt(33))/2. Menggabungkan dengan kondisi x >= 0, kita dapatkan 0 <= x < (1 + sqrt(33))/2.

Menggabungkan kedua interval yang memenuhi akar(x+8) > x:
[-8, 0) U [0, (1 + sqrt(33))/2)
Ini menjadi interval tunggal: -8 <= x < (1 + sqrt(33))/2.

Jadi, batas-batas nilai x agar kurva y1 berada di atas kurva y2 adalah -8 <= x < (1 + sqrt(33))/2.