Diketahui layang-layang PQRS dengan T merupakan titik

Panjang SR adalah 17 cm.

Pembahasan

Diketahui layang-layang PQRS dengan T merupakan titik potong diagonal PR dan QS. Diketahui panjang QT = 6 cm, PQ = 10 cm, dan QS = 21 cm.

Dalam layang-layang, diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Ini berarti segitiga PQ T adalah segitiga siku-siku di T.

Kita diberikan panjang QT = 6 cm dan PQ = 10 cm. Kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku PQT untuk mencari panjang PT:
PQ^2 = PT^2 + QT^2
10^2 = PT^2 + 6^2
100 = PT^2 + 36
PT^2 = 100 - 36
PT^2 = 64
PT = sqrt(64)
PT = 8 cm.

Dalam layang-layang, salah satu diagonal (dalam hal ini PR) membagi diagonal lainnya (QS) menjadi dua sama panjang. Namun, informasi ini tidak diperlukan untuk soal ini. Informasi yang relevan adalah sifat simetri layang-layang:
Sisi-sisi yang berdekatan sama panjang (PQ = PS dan RS = RQ).

Kita juga tahu bahwa QS = 21 cm. Karena T adalah titik potong diagonal, maka QS = QT + TS. Namun, layang-layang tidak selalu membagi diagonalnya menjadi dua sama panjang kecuali itu adalah belah ketupat. Yang kita tahu adalah bahwa segitiga siku-siku juga terbentuk di sisi lain.

Perhatikan segitiga siku-siku RTS. Kita tahu TS = QS - QT = 21 cm - 6 cm = 15 cm. Namun, kita tidak tahu panjang RS atau RT secara langsung dari informasi ini.

Mari kita gunakan sifat layang-layang yang lain: Segitiga yang dibentuk oleh dua sisi yang berdekatan dan salah satu diagonalnya adalah kongruen. Dalam hal ini, segitiga PQS kongruen dengan segitiga RQS jika diagonal PR adalah sumbu simetri, tetapi ini tidak selalu terjadi. Seringkali, segitiga PQT dan RQT adalah kongruen, dan segitiga PST dan RST adalah kongruen.

Karena PQRS adalah layang-layang, maka sisi PQ = PS dan sisi RQ = RS. Kita sudah tahu PQ = 10 cm, jadi PS juga 10 cm.

Untuk mencari panjang SR, kita perlu melihat segitiga siku-siku di T. Kita tahu QS = 21 cm, dan T adalah titik potongnya. Diagonal PR tegak lurus dengan QS. Sehingga kita memiliki segitiga siku-siku di T.

Kita memiliki segitiga PQT dengan sisi PT=8 cm dan QT=6 cm. PQ=10 cm.
Kita juga memiliki segitiga RST. Kita tahu T adalah titik potong, jadi PR ⊥ QS.
Kita perlu menemukan panjang RT. Sifat layang-layang adalah salah satu diagonalnya (biasanya diagonal yang lebih panjang atau sumbu simetri) membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Dalam soal ini, tidak disebutkan diagonal mana yang lebih panjang atau mana yang merupakan sumbu simetri. Namun, karena PQT adalah segitiga siku-siku dengan sisi 6 dan 8, sisi miringnya adalah 10. Ini konsisten dengan PQ=10.

Dalam layang-layang, ada dua pasang sisi yang sama panjang. Jadi, PQ = PS = 10 cm, dan RQ = RS. Kita perlu mencari RS.

Kita tahu QS = 21 cm. T adalah titik potong. Maka, QT + TS = QS. Kita diberi QT = 6 cm, jadi TS = 21 cm - 6 cm = 15 cm.

Sekarang kita perhatikan segitiga siku-siku di T yang melibatkan sisi RS, yaitu segitiga RST.
Kita tahu TS = 15 cm.
Kita perlu mencari panjang RT. Sifat layang-layang adalah bahwa satu diagonal (biasanya diagonal terpanjang) adalah sumbu simetri dan membagi diagonal lainnya menjadi dua sama panjang. Namun, kita tidak tahu mana diagonal terpanjangnya. Tetapi, kita tahu bahwa dua segitiga yang dibentuk oleh diagonal yang lebih pendek dan dua sisi yang berdekatan adalah kongruen. Dalam kasus ini, segitiga PQT dan RQT adalah kongruen HANYA JIKA PR adalah sumbu simetri. Sebaliknya, segitiga PST dan RST adalah kongruen jika QS adalah sumbu simetri.

Mari kita asumsikan yang paling umum: salah satu diagonal membagi yang lain menjadi dua sama panjang. Jika QS dibagi dua sama panjang oleh PR, maka QT = TS. Tapi kita diberi QT = 6 dan QS = 21, jadi TS = 15. Ini berarti QS tidak dibagi dua sama panjang oleh PR.

Oleh karena itu, PR harus dibagi dua sama panjang oleh QS, yang berarti PT = TR. Kita sudah menghitung PT = 8 cm. Maka, TR = 8 cm.

Sekarang kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku RST:
RS^2 = RT^2 + TS^2
RS^2 = 8^2 + 15^2
RS^2 = 64 + 225
RS^2 = 289
RS = sqrt(289)
RS = 17 cm.

Karena layang-layang memiliki dua pasang sisi yang sama panjang, dan PQ = 10 cm, maka PS = 10 cm. Sisi lainnya adalah RS dan RQ. Kita menghitung RS = 17 cm, maka RQ juga 17 cm.

Jadi, panjang SR adalah 17 cm.