Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan panjang AB=8

4 cm

Pembahasan

Untuk mencari panjang proyeksi garis AO ke garis AT pada limas beraturan T.ABCD dengan AB = 8√2 cm dan tinggi limas TO = 8√3 cm, kita perlu menggunakan konsep proyeksi vektor atau trigonometri dalam ruang. Pertama, kita tentukan panjang rusuk alas. Karena limas beraturan T.ABCD, alasnya adalah persegi. Panjang diagonal AC dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga ABC: AC^2 = AB^2 + BC^2 = (8√2)^2 + (8√2)^2 = 128 + 128 = 256. Jadi, AC = √256 = 16 cm. Titik O adalah pusat persegi, sehingga AO = OC = BO = OD = 1/2 * AC = 1/2 * 16 = 8 cm. Selanjutnya, kita cari panjang rusuk tegak AT. Gunakan teorema Pythagoras pada segitiga ATO (segitiga siku-siku di O): AT^2 = AO^2 + TO^2 = 8^2 + (8√3)^2 = 64 + (64 * 3) = 64 + 192 = 256. Jadi, AT = √256 = 16 cm. Proyeksi garis AO ke garis AT adalah panjang segmen dari A ke titik pada AT yang tegak lurus dari O ke AT. Dalam segitiga ATO, panjang proyeksi AO pada AT dapat dihitung menggunakan rumus: Proyeksi AO pada AT = (AO * cos(sudut OAT)). Sudut OAT adalah sudut antara AO dan AT. Kita bisa menggunakan rumus kosinus pada segitiga ATO: cos(sudut OAT) = AO / AT = 8 / 16 = 1/2. Jadi, panjang proyeksi AO pada AT = AO * cos(sudut OAT) = 8 * (1/2) = 4 cm. Alternatif lain, kita bisa menggunakan luas segitiga ATO. Luas segitiga ATO = 1/2 * alas * tinggi. Jika kita gunakan alas AO, tingginya adalah TO. Luas = 1/2 * AO * TO = 1/2 * 8 * 8√3 = 32√3 cm^2. Jika kita gunakan alas AT, tingginya adalah proyeksi O ke AT (misalnya, titik P pada AT sehingga OP tegak lurus AT). Luas = 1/2 * AT * OP. Maka, 1/2 * 16 * OP = 32√3, sehingga 8 * OP = 32√3, dan OP = 4√3 cm. Proyeksi AO ke AT bukanlah OP, melainkan panjang AP. Dalam segitiga APO siku-siku di P, AP^2 = AO^2 - OP^2 = 8^2 - (4√3)^2 = 64 - (16 * 3) = 64 - 48 = 16. Jadi, AP = √16 = 4 cm. Jadi, panjang proyeksi garis AO ke garis AT adalah 4 cm.