Tentukan nilai x, y , dan z sehingga vektor a=b

Solusinya adalah x = 1 - t, y = t - 2, dan z = t, untuk setiap bilangan real t.

Pembahasan

Diberikan dua vektor a dan b, di mana:
a = (x+2y-z, x-y+2z, 2x-y+3z)
b = (-3, 3, 4)

Kita diminta untuk mencari nilai x, y, dan z sehingga vektor a = b. Dua vektor dikatakan sama jika komponen-komponen yang bersesuaian memiliki nilai yang sama.

Oleh karena itu, kita dapat menyusun sistem persamaan linear:

1. x + 2y - z = -3
2. x - y + 2z = 3
3. 2x - y + 3z = 4

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan linear ini menggunakan berbagai metode, seperti substitusi atau eliminasi.

Mari kita gunakan metode eliminasi:
Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(x - y + 2z) - (x + 2y - z) = 3 - (-3)
-3y + 3z = 6
Bagi dengan -3: y - z = -2  => y = z - 2 (Persamaan 4)

Kurangkan persamaan (3) dari 2 kali persamaan (2):
2(x - y + 2z) - (2x - y + 3z) = 2(3) - 4
(2x - 2y + 4z) - (2x - y + 3z) = 6 - 4
-y + z = 2 (Persamaan 5)

Perhatikan bahwa Persamaan 4 dan Persamaan 5 adalah persamaan yang sama, yaitu y - z = -2 atau -y + z = 2. Ini berarti sistem ini memiliki tak hingga banyak solusi atau ada kesalahan dalam penulisan soal/informasi.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ada solusi tunggal, mari kita coba metode lain atau cek ulang.

Mari kita coba substitusi Persamaan (4) ke Persamaan (2):
x - (z - 2) + 2z = 3
x - z + 2 + 2z = 3
x + z = 1 => x = 1 - z (Persamaan 6)

Sekarang substitusikan Persamaan (4) dan (6) ke Persamaan (3):
2(1 - z) - (z - 2) + 3z = 4
2 - 2z - z + 2 + 3z = 4
4 = 4

Persamaan ini selalu benar (4=4), yang mengkonfirmasi bahwa ada tak hingga banyak solusi untuk sistem ini. Ini terjadi ketika salah satu persamaan merupakan kombinasi linear dari persamaan lainnya, atau ketika ada ketergantungan antar variabel.

Untuk memberikan jawaban spesifik, kita bisa memilih salah satu variabel untuk dinyatakan dalam parameter lain. Misalnya, jika kita memilih z = t (dimana t adalah bilangan real apa saja):
Dari Persamaan (4): y = t - 2
Dari Persamaan (6): x = 1 - t

Jadi, solusi umumnya adalah x = 1 - t, y = t - 2, dan z = t, untuk setiap bilangan real t.