Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD. Panjang AB=10

√2/2

Pembahasan

Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan AB = 10 cm dan TC = 5√3 cm. P dan Q adalah titik tengah AB dan CD. Kita perlu mencari cosinus sudut antara bidang TPQ dan TBC.
Karena ABCD adalah segi empat beraturan, maka alasnya adalah persegi. Panjang sisi alas adalah 10 cm.
Panjang TP adalah tinggi segitiga sama kaki TAB, dengan alas AB=10. TA=TB. Kita perlu mencari TA atau TB. Jika kita perhatikan segitiga TBC, TC=TB=5√3 dan BC=10. Ini adalah segitiga sama kaki.
Untuk mencari tinggi limas, kita perlu mencari tinggi alas dari C ke tengah AB (misal M). CM = 10 cm. TC = 5√3. Jika T adalah puncak, TO adalah tinggi limas (O titik pusat persegi). CO = 1/2 diagonal AC. AC = √(10^2 + 10^2) = 10√2. CO = 5√2.
Dalam segitiga TOC, TC^2 = TO^2 + CO^2. (5√3)^2 = TO^2 + (5√2)^2. 75 = TO^2 + 50. TO^2 = 25. TO = 5 cm.
Sekarang kita cari panjang TP. P adalah titik tengah AB. Jadi, AP = 5. Dalam segitiga TAP, TA=TB. Kita perlu TA. Dalam segitiga TBC, TC=5√3, BC=10. Misalkan M adalah titik tengah BC. TM adalah tinggi segitiga TBC. TM = √(TC^2 - CM^2) = √((5√3)^2 - 5^2) = √(75 - 25) = √50 = 5√2.
Bidang TPQ adalah bidang yang dibentuk oleh garis TP, TQ, dan PQ. PQ adalah garis yang menghubungkan titik tengah AB dan CD, sehingga PQ = BC = 10 cm. TP adalah garis tinggi pada segitiga TAB dari T ke P (titik tengah AB). Karena TAB sama kaki, TP tegak lurus AB. TP = √(TA^2 - AP^2). Kita perlu TA. Dalam segitiga TAB, AB=10. Misalkan TA=TB=x. TP = √(x^2 - 5^2).
Dalam segitiga TBC, TC=5√3, BC=10. Misalkan M titik tengah BC. TM = √(TC^2 - MC^2) = √((5√3)^2 - 5^2) = √(75 - 25) = √50 = 5√2.
Karena limas beraturan, TA=TB=TC=TD=5√3. Maka TP adalah tinggi segitiga TAB. TP = √(TA^2 - AP^2) = √((5√3)^2 - 5^2) = √(75 - 25) = √50 = 5√2. Demikian pula, TQ = 5√2.
Bidang TPQ adalah segitiga sama kaki TPQ dengan TP = TQ = 5√2 dan PQ = 10.
Bidang TBC adalah segitiga sama kaki TBC dengan TB = TC = 5√3 dan BC = 10. Tinggi TBC adalah TM = 5√2.
Sudut antara bidang TPQ dan TBC adalah sudut di antara garis TM (tinggi TBC pada BC) dan TP (karena P adalah titik tengah AB, dan TP tegak lurus AB, serta TP juga tegak lurus PQ jika TPQ adalah segitiga siku-siku di T, tapi ini segitiga sama kaki). 
Lebih tepatnya, kita perlu mencari garis tembereng sudut antara kedua bidang tersebut. Garis perpotongan kedua bidang adalah garis T.
Kita perlu mencari garis yang tegak lurus garis T pada kedua bidang. 
Pada bidang TPQ, garis tinggi dari T ke PQ adalah garis yang sama karena TPQ sama kaki, yaitu kita perlu mencari tinggi dari T ke PQ. Misalkan O' adalah titik tengah PQ. TO' adalah tinggi segitiga TPQ. TO' = √(TP^2 - PO'^2) = √((5√2)^2 - 5^2) = √(50 - 25) = √25 = 5.
Pada bidang TBC, garis tinggi dari T ke BC adalah TM = 5√2.
Sudut antara bidang TPQ dan TBC adalah sudut antara TO' dan TM. Kedua garis ini berpotongan di T.
Kita perlu mencari sudut antara TO' dan TM. Perhatikan segitiga TOM, di mana O adalah pusat persegi alas dan M adalah titik tengah BC. OM = 10 (setengah sisi). TO = 5 (tinggi limas). TM = 5√2 (sudah dihitung).
Perhatikan segitiga TO'M. TO' = 5, OM = 10, TM = 5√2. Ini tidak membentuk segitiga siku-siku.
Mari kita gunakan vektor. Misal T=(0,0,5), A=(-5,-5,0), B=(5,-5,0), C=(5,5,0), D=(-5,5,0).
P = titik tengah AB = (0,-5,0). Q = titik tengah CD = (0,5,0).
Bidang TPQ melalui T(0,0,5), P(0,-5,0), Q(0,5,0). Vektor normal bidang TPQ adalah vektor yang tegak lurus TP dan TQ (atau PQ).
TP = P - T = (0,-5,-5). TQ = Q - T = (0,5,-5).
Produk silang TP x TQ = | i j k | | 0 -5 -5 | | 0 5 -5 | = i(25 - (-25)) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = (50, 0, 0). Vektor normal bidang TPQ adalah n1 = (1,0,0).
Bidang TBC melalui T(0,0,5), B(5,-5,0), C(5,5,0). Vektor normal bidang TBC adalah vektor yang tegak lurus TB dan TC.
TB = B - T = (5,-5,-5). TC = C - T = (5,5,-5).
Produk silang TB x TC = | i j k | | 5 -5 -5 | | 5 5 -5 | = i(25 - (-25)) - j(-25 - (-25)) + k(25 - (-25)) = (50, 0, 50). Vektor normal bidang TBC adalah n2 = (1,0,1).
Sudut alpha antara dua bidang adalah sudut antara vektor normalnya.
cos alpha = |n1 . n2| / (||n1|| ||n2||)
n1 . n2 = (1)(1) + (0)(0) + (0)(1) = 1.
||n1|| = √(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1.
||n2|| = √(1^2 + 0^2 + 1^2) = √2.
cos alpha = |1| / (1 * √2) = 1/√2 = √2/2.
Nilai cos alpha adalah √2/2.