Kotak kemasan kapur tulis berbentuk kubus ABCD EFGH.

arcsin(1/√3) atau sekitar 35.26°

Pembahasan

Soal ini meminta untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis BG dengan bidang BDHF pada sebuah kubus ABCD.EFGH.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah 'a'.

1.  **Identifikasi Garis dan Bidang:**
    *   Garis: BG
    *   Bidang: BDHF

2.  **Visualisasi Kubus:**
    Bayangkan sebuah kubus dengan titik-titik sudutnya.
    *   Bidang BDHF adalah salah satu bidang diagonal kubus.
    *   Garis BG adalah salah satu diagonal ruang kubus.

3.  **Proyeksi Garis pada Bidang:**
    Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita perlu mencari proyeksi garis tersebut pada bidang. Proyeksi garis BG pada bidang BDHF adalah garis BH.

4.  **Pembentukan Segitiga Siku-siku:**
    Sekarang kita memiliki segitiga siku-siku BGH, di mana siku-siku berada di H (karena GH tegak lurus dengan bidang EFGH, sehingga GH tegak lurus dengan BH).
    *   Sisi GH adalah rusuk kubus, panjangnya = a.
    *   Sisi BH adalah diagonal bidang alas (atau bidang atas) ABCD (atau EFGH). Panjang BH dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD (atau BFG): BH^2 = BC^2 + CH^2. Jika kita ambil segitiga BFG, maka BH bukan sisi miringnya. Kita perlu mempertimbangkan segitiga siku-siku BCD untuk mencari diagonal BD, dan segitiga siku-siku BFG untuk mencari diagonal BF. Namun, yang kita perlukan adalah diagonal bidang alas BDHF, yaitu BH dan DF.
    *   Mari kita fokus pada segitiga BGH. Sisi BH adalah diagonal bidang alas ABCD. Menggunakan Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD (atau ABC), kita dapatkan: BH^2 = BC^2 + CD^2 (ini salah, BH adalah diagonal bidang alas BCGF).
    *   Mari kita perbaiki: Bidang BDHF dibentuk oleh diagonal BD dan diagonal HF. Garis BG adalah diagonal ruang. Proyeksi BG pada bidang BDHF adalah BH. Segitiga yang relevan adalah BGH, dengan siku-siku di H.
    *   GH = rusuk kubus = a.
    *   BH = diagonal bidang alas ABCD. Menggunakan Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD: BD^2 = BC^2 + CD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Jadi BD = a√2. Demikian pula, BH adalah diagonal bidang BCGF, maka BH^2 = BC^2 + CG^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Jadi BH = a√2. (Ini salah. BH adalah diagonal dari bidang EFGH atau ABCD). Mari kita asumsikan alasnya ABCD dan bidang atas EFGH. Bidang BDHF dibentuk oleh diagonal BD dan HF. Garis BG adalah diagonal ruang. Proyeksi BG pada bidang BDHF adalah BH. Segitiga siku-siku yang relevan adalah BGH, dengan siku-siku di H.
    *   GH = rusuk kubus = a.
    *   BH = diagonal bidang alas ABCD. Menggunakan Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD: BD^2 = BC^2 + CD^2. Jika kita menggunakan alas ABCD, maka diagonalnya adalah AC dan BD. Jika kita menggunakan bidang BCGF, maka diagonalnya adalah BG dan CF. Jika kita menggunakan bidang ABFE, maka diagonalnya adalah AF dan BE.
    *   Mari kita perjelas penamaan bidang dan garisnya.
    Kubus ABCD.EFGH:
    Bidang alas: ABCD
    Bidang atas: EFGH
    Rusuk tegak: AE, BF, CG, DH

    Bidang BDHF dibentuk oleh diagonal BD (dari alas ABCD) dan diagonal HF (dari bidang atas EFGH).
    Garis BG adalah diagonal ruang yang menghubungkan B dengan G.

    Proyeksi garis BG pada bidang BDHF adalah garis BH.
    Kita perlu mencari sudut antara BG dan BH. Ini adalah sudut ∠GBH.

    Pertimbangkan segitiga siku-siku BGH, dengan siku-siku di H.
    *   GH = rusuk kubus = a.
    *   BH = diagonal bidang alas ABCD. Menggunakan Pythagoras pada segitiga siku-siku BCD: BD^2 = BC^2 + CD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Jadi BD = a√2. Karena ABCD adalah persegi, maka diagonalnya sama, yaitu BD = AC = a√2. Juga diagonal pada bidang EFGH, yaitu EG = FH = a√2.
    *   Jadi, BH = a√2.

5.  **Menghitung Sudut:**
    Dalam segitiga siku-siku BGH:
    tan(∠GBH) = Sisi depan / Sisi samping = GH / BH
    tan(∠GBH) = a / (a√2)
    tan(∠GBH) = 1/√2

    Sudut yang dibentuk adalah arctan(1/√2).
    Nilai numeriknya kira-kira 35,26 derajat.

    Namun, soal menanyakan besar sudut yang dibentuk garis BG dengan bidang BDHF. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang tersebut. Proyeksi BG pada bidang BDHF adalah BH. Jadi, sudut yang dicari adalah sudut antara BG dan BH, yaitu ∠GBH.

    Dalam segitiga siku-siku BGH (siku-siku di H):
    GH = a (rusuk kubus)
    BH = diagonal bidang alas = a√2

    Kita bisa menggunakan trigonometri:
    sin(∠GBH) = GH / BG
    BG adalah diagonal ruang. BG^2 = BC^2 + CG^2 = a^2 + a^2 = 2a^2. Ini salah. BG^2 = AB^2 + AD^2 + DH^2 = a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2. Jadi BG = a√3.

    sin(∠GBH) = a / (a√3) = 1/√3

    Jadi, sudut yang dibentuk adalah arcsin(1/√3).

    Mari kita cek dengan cos:
    cos(∠GBH) = BH / BG = (a√2) / (a√3) = √2/√3

    Mari kita cek dengan tan:
    tan(∠GBH) = GH / BH = a / (a√2) = 1/√2

    Ketiga hasil ini konsisten, karena jika sin(θ) = 1/√3, maka cos(θ) = √(1 - (1/√3)^2) = √(1 - 1/3) = √(2/3) = √2/√3, dan tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) = (1/√3) / (√2/√3) = 1/√2.

    Besar sudut yang dibentuk garis BG dengan bidang BDHF adalah arcsin(1/√3) atau arccos(√2/√3) atau arctan(1/√2).

    Jika diminta dalam derajat, arcsin(1/√3) ≈ 35.26°.