tentukan himpunan penyelesaian dalam selang [-2pi, 2pi]

Himpunan penyelesaiannya adalah { arccos(1/5), 2pi - arccos(1/5), -arccos(1/5), -2pi + arccos(1/5) }.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri 5sec^2 x - 23 sec x - 10 = 0 dalam selang [-2pi, 2pi], kita dapat melakukan substitusi.

Misalkan y = sec x.
Maka persamaan menjadi:
5y^2 - 23y - 10 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam y. Kita bisa menyelesaikannya dengan pemfaktoran atau rumus kuadrat.

Memfaktorkan persamaan:
Kita mencari dua bilangan yang hasil kalinya 5 * (-10) = -50 dan jumlahnya -23. Bilangan tersebut adalah -25 dan 2.
5y^2 - 25y + 2y - 10 = 0
5y(y - 5) + 2(y - 5) = 0
(5y + 2)(y - 5) = 0

Maka, kita dapatkan dua kemungkinan nilai untuk y:
1) 5y + 2 = 0  =>  5y = -2  =>  y = -2/5
2) y - 5 = 0   =>  y = 5

Sekarang kita kembalikan substitusi y = sec x:
1) sec x = -2/5
Ini berarti cos x = -5/2.
Karena nilai cosinus berada di antara -1 dan 1, nilai cos x = -5/2 tidak mungkin terjadi. Oleh karena itu, tidak ada solusi dari kasus ini.

2) sec x = 5
Ini berarti cos x = 1/5.

Kita perlu mencari nilai x dalam selang [-2pi, 2pi] di mana cos x = 1/5.

Nilai cosinus bernilai positif di kuadran I dan IV.

Dalam selang [0, 2pi]:
Misalkan alpha adalah sudut di kuadran I sedemikian rupa sehingga cos(alpha) = 1/5.
alpha = arccos(1/5)

Di kuadran IV, sudutnya adalah 2pi - alpha.
Jadi, dalam selang [0, 2pi], solusinya adalah x = arccos(1/5) dan x = 2pi - arccos(1/5).

Sekarang kita pertimbangkan selang [-2pi, 0].
Karena fungsi cosinus adalah fungsi genap (cos(-x) = cos(x)) dan periodik dengan periode 2pi, solusi di selang negatif akan simetris.

Solusi di selang [-2pi, 0] adalah:
x = -arccos(1/5)
x = -(2pi - arccos(1/5)) = -2pi + arccos(1/5)

Jadi, himpunan penyelesaian dalam selang [-2pi, 2pi] adalah:
{ arccos(1/5), 2pi - arccos(1/5), -arccos(1/5), -2pi + arccos(1/5) }

Jika kita menyusunnya dalam urutan naik:
{-2pi + arccos(1/5), -arccos(1/5), arccos(1/5), 2pi - arccos(1/5)}

Nilai arccos(1/5) kira-kira 1.369 radian (atau sekitar 78.46 derajat).

Himpunan penyelesaiannya adalah:
{ -2pi + arccos(1/5), -arccos(1/5), arccos(1/5), 2pi - arccos(1/5) }