Kelas 12Kelas 11mathGeometri
Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi. Panjang rusuk
Pertanyaan
Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi. Panjang rusuk alas dan rusuk tegak turut-turut adalah a cm dan 2a cm. Jika titik P terletak di tengah AT, nilai tangen dari garis sudut antara bidang ABCD PC dan garis adalah
Solusi
Verified
sqrt(7)/3
Pembahasan
Untuk menentukan nilai tangen dari sudut antara bidang ABCD dan garis PC pada limas T.ABCD dengan alas persegi dan panjang rusuk alas 'a' serta rusuk tegak '2a', kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut: 1. **Visualisasi Limas:** Bayangkan limas T.ABCD dengan alas persegi ABCD. Titik T adalah puncak limas. Panjang AB = BC = CD = DA = a. Panjang TA = TB = TC = TD = 2a. P adalah titik tengah AT. 2. **Menentukan Bidang Referensi:** Bidang referensi adalah alas limas, yaitu bidang ABCD. 3. **Mencari Garis Persekutuan:** Garis PC memotong bidang alas di titik C. Garis PC memotong bidang alas di titik P. Namun, P tidak berada di bidang alas. Kita perlu mencari proyeksi P ke bidang alas atau mencari garis di bidang alas yang membentuk sudut dengan PC. Cara yang lebih umum untuk mencari sudut antara garis dan bidang adalah dengan mencari sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut. Proyeksi titik P pada bidang ABCD adalah titik A (karena TA tegak lurus terhadap bidang alas jika alasnya berpusat di O dan T tepat di atas O, tetapi di sini TA adalah rusuk tegak, jadi kita perlu hati-hati). Mari kita gunakan vektor atau geometri analitik. **Pendekatan Geometri Analitik:** Misalkan A = (0, 0, 0), B = (a, 0, 0), D = (0, a, 0), C = (a, a, 0). Untuk mencari koordinat T, kita perlu tinggi limas (h). Tinggi limas dari T ke pusat alas O. Pusat alas O adalah (a/2, a/2, 0). Jarak TC = 2a. Misalkan T = (a/2, a/2, h). Jarak TC^2 = (a/2 - a)^2 + (a/2 - a)^2 + (h - 0)^2 (2a)^2 = (-a/2)^2 + (-a/2)^2 + h^2 4a^2 = a^2/4 + a^2/4 + h^2 4a^2 = a^2/2 + h^2 h^2 = 4a^2 - a^2/2 = (8a^2 - a^2)/2 = 7a^2/2 h = a * sqrt(7/2) = a * sqrt(14)/2. Jadi, T = (a/2, a/2, a*sqrt(14)/2). P adalah titik tengah AT. P = ((0 + a/2)/2, (0 + a/2)/2, (0 + a*sqrt(14)/2)/2) P = (a/4, a/4, a*sqrt(14)/4). Sekarang kita punya titik P = (a/4, a/4, a*sqrt(14)/4) dan C = (a, a, 0). Vektor PC = C - P = (a - a/4, a - a/4, 0 - a*sqrt(14)/4) Vektor PC = (3a/4, 3a/4, -a*sqrt(14)/4). Bidang ABCD terletak pada bidang z=0. Vektor normal bidang ABCD adalah k = (0, 0, 1). Sudut antara garis PC dan bidang ABCD adalah sudut antara vektor PC dan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi PC pada bidang ABCD adalah vektor PC' yang diperoleh dengan mengatur komponen z menjadi 0. PC' = (3a/4, 3a/4, 0). Sudut (theta) antara PC dan PC' dapat ditemukan menggunakan dot product: `cos(theta) = (PC . PC') / (|PC| * |PC'|)` Namun, kita mencari tangen sudut antara garis dan bidang. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut. Misalkan sudut ini adalah phi. Maka `sin(phi) = |komponen tegak lurus| / |garis|`. Atau `tan(phi) = |komponen sejajar dengan bidang| / |komponen tegak lurus terhadap bidang|`. Vektor PC = (3a/4, 3a/4, -a*sqrt(14)/4). Komponen sejajar bidang ABCD (komponen x dan y) adalah (3a/4, 3a/4, 0). Komponen tegak lurus bidang ABCD (komponen z) adalah 0 - (-a*sqrt(14)/4) = a*sqrt(14)/4. Panjang komponen sejajar (vektor PC'): `|PC'| = sqrt((3a/4)^2 + (3a/4)^2) = sqrt(9a^2/16 + 9a^2/16) = sqrt(18a^2/16) = sqrt(9a^2/8) = 3a / (2*sqrt(2)) = 3a*sqrt(2)/4`. Panjang komponen tegak lurus: `|tegak lurus| = a*sqrt(14)/4`. Tangen sudut phi adalah perbandingan antara panjang komponen sejajar dengan bidang dan panjang komponen tegak lurus terhadap bidang. `tan(phi) = |PC'| / |tegak lurus|` `tan(phi) = (3a*sqrt(2)/4) / (a*sqrt(14)/4)` `tan(phi) = (3*sqrt(2)) / sqrt(14)` `tan(phi) = (3*sqrt(2)) / (sqrt(2)*sqrt(7))` `tan(phi) = 3 / sqrt(7)` `tan(phi) = 3*sqrt(7) / 7`. **Verifikasi dengan pendekatan lain (jika memungkinkan):** Misalkan kita proyeksikan titik P ke bidang alas. Proyeksi P ke bidang ABCD adalah titik A jika TA tegak lurus terhadap ABCD. Namun, TA adalah rusuk tegak, bukan tinggi. Jika T berada tepat di atas pusat alas, maka proyeksi T adalah O, dan proyeksi P adalah titik pada AO. Dalam kasus ini, A=(0,0,0), T=(x_T, y_T, h), P = T/2. Mari kita asumsikan T berada di atas pusat alas O=(a/2, a/2, 0). Maka proyeksi P ke bidang alas adalah titik P' pada bidang ABCD. Koordinat T = (a/2, a/2, h). h = a*sqrt(14)/2. P = (a/4, a/4, a*sqrt(14)/4). Proyeksi P ke bidang ABCD (z=0) adalah P' = (a/4, a/4, 0). Garis di bidang ABCD yang relevan adalah garis yang melalui C dan memproyeksikan P, yaitu CP'. Sudut yang dicari adalah sudut antara PC dan PC'. Sudut phi antara garis PC dan bidang ABCD adalah: `sin(phi) = (tinggi P dari bidang ABCD) / (panjang PC)` Tinggi P dari bidang ABCD adalah koordinat z P, yaitu `a*sqrt(14)/4`. Panjang PC = `sqrt((3a/4)^2 + (3a/4)^2 + (-a*sqrt(14)/4)^2)` `|PC| = sqrt(9a^2/16 + 9a^2/16 + 14a^2/16)` `|PC| = sqrt((18a^2 + 14a^2)/16) = sqrt(32a^2/16) = sqrt(2a^2) = a*sqrt(2)`. `sin(phi) = (a*sqrt(14)/4) / (a*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(14) / (4*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(7*2) / (4*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(7)*sqrt(2) / (4*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(7) / 4`. Sekarang kita bisa mencari `tan(phi)` jika kita tahu `sin(phi)`. Buat segitiga siku-siku dengan sisi depan = `sqrt(7)` dan sisi miring = 4. Sisi samping = `sqrt(sisi miring^2 - sisi depan^2) = sqrt(4^2 - (sqrt(7))^2) = sqrt(16 - 7) = sqrt(9) = 3`. Jadi, `tan(phi) = sisi depan / sisi samping = sqrt(7) / 3`. Mari kita cek kembali perhitungan sebelumnya. Pendekatan pertama menggunakan komponen vektor PC: `tan(phi) = |komponen sejajar| / |komponen tegak lurus|` `|PC'| = 3a*sqrt(2)/4` (komponen sejajar) `|tegak lurus| = a*sqrt(14)/4` (komponen tegak lurus) `tan(phi) = (3a*sqrt(2)/4) / (a*sqrt(14)/4) = 3*sqrt(2) / sqrt(14) = 3*sqrt(2) / (sqrt(2)*sqrt(7)) = 3/sqrt(7) = 3*sqrt(7)/7`. Ada perbedaan hasil. Mari kita teliti lagi definisi sudut antara garis dan bidang. Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut. Proyeksi P pada bidang ABCD adalah P' = (a/4, a/4, 0). Garis di bidang ABCD adalah CP'. Vektor PC = (3a/4, 3a/4, -a*sqrt(14)/4). Vektor CP' = P' - C = (a/4 - a, a/4 - a, 0 - 0) = (-3a/4, -3a/4, 0). Sudut phi antara PC dan CP' dapat dihitung menggunakan dot product: `cos(phi) = (PC . CP') / (|PC| * |CP'|)` `PC . CP' = (3a/4)(-3a/4) + (3a/4)(-3a/4) + (-a*sqrt(14)/4)(0)` `PC . CP' = -9a^2/16 - 9a^2/16 = -18a^2/16 = -9a^2/8`. `|PC| = a*sqrt(2)` (dihitung sebelumnya). `|CP'| = sqrt((-3a/4)^2 + (-3a/4)^2 + 0^2) = sqrt(9a^2/16 + 9a^2/16) = sqrt(18a^2/16) = sqrt(9a^2/8) = 3a/(2*sqrt(2)) = 3a*sqrt(2)/4`. `cos(phi) = (-9a^2/8) / (a*sqrt(2) * 3a*sqrt(2)/4)` `cos(phi) = (-9a^2/8) / (3a^2 * 2 / 4)` `cos(phi) = (-9a^2/8) / (6a^2 / 4)` `cos(phi) = (-9a^2/8) / (3a^2 / 2)` `cos(phi) = (-9a^2/8) * (2 / 3a^2)` `cos(phi) = -18a^2 / 24a^2 = -18/24 = -3/4`. Ini memberikan cosinus sudut antara vektor PC dan vektor CP'. Namun, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip, sehingga kita ambil nilai absolut dari cosinus jika perlu, atau hitung menggunakan sinus. Mari kita gunakan definisi `sin(phi) = |proyeksi vektor normal bidang pada vektor garis| / |vektor garis|`. Ini rumit. Kembali ke `sin(phi) = (tinggi P dari bidang ABCD) / (panjang PC)`. Tinggi P dari bidang ABCD = `a*sqrt(14)/4`. Panjang PC = `a*sqrt(2)`. `sin(phi) = (a*sqrt(14)/4) / (a*sqrt(2)) = sqrt(14) / (4*sqrt(2)) = sqrt(7)/4`. Jika `sin(phi) = sqrt(7)/4`, Maka `cos^2(phi) = 1 - sin^2(phi) = 1 - (sqrt(7)/4)^2 = 1 - 7/16 = 9/16`. `cos(phi) = sqrt(9/16) = 3/4` (karena phi sudut lancip). Jika `sin(phi) = sqrt(7)/4` dan `cos(phi) = 3/4`, Maka `tan(phi) = sin(phi) / cos(phi) = (sqrt(7)/4) / (3/4) = sqrt(7)/3`. Hasil `tan(phi) = sqrt(7)/3` ini konsisten dengan perhitungan pertama kita jika kita menginterpretasikan `tan(phi)` sebagai rasio panjang komponen sejajar terhadap komponen tegak lurus. `tan(phi) = |PC'| / |tegak lurus dari P ke bidang|` `|PC'| = 3a*sqrt(2)/4` `tinggi P = a*sqrt(14)/4` `tan(phi) = (3a*sqrt(2)/4) / (a*sqrt(14)/4) = 3*sqrt(2) / sqrt(14) = 3/sqrt(7) = 3*sqrt(7)/7`. Perbedaan ada pada definisi 'komponen tegak lurus'. Sudut antara garis L dan bidang V adalah sudut terkecil antara L dan garis manapun di V yang melalui titik potong L dan V. Sudut phi adalah sudut antara PC dan proyeksinya PC' pada bidang ABCD. `tan(phi)` adalah perbandingan sisi depan (tinggi P) dengan sisi samping (panjang P'C). Sisi depan = tinggi P = `a*sqrt(14)/4`. Sisi samping = panjang P'C = `|CP'| = 3a*sqrt(2)/4`. `tan(phi) = (a*sqrt(14)/4) / (3a*sqrt(2)/4) = sqrt(14) / (3*sqrt(2)) = sqrt(7*2) / (3*sqrt(2)) = sqrt(7)/3`. Jadi, nilai tangen sudut antara bidang ABCD dan garis PC adalah `sqrt(7)/3`. **Periksa kembali asumsi penempatan T:** Jika limas T.ABCD dengan alas persegi dan rusuk tegak 2a, T tidak harus berada tepat di atas pusat alas. Namun, jika dikatakan 'limas T.ABCD', biasanya diasumsikan T berada di atas pusat O, sehingga TA=TB=TC=TD. Jika TA=2a, maka jarak dari T ke A adalah 2a. Jika T berada di atas pusat O, maka `TO^2 + OA^2 = TA^2`. `OA` adalah setengah diagonal alas. Diagonal alas = `a*sqrt(2)`. Jadi `OA = a*sqrt(2)/2`. `h^2 + (a*sqrt(2)/2)^2 = (2a)^2` `h^2 + 2a^2/4 = 4a^2` `h^2 + a^2/2 = 4a^2` `h^2 = 4a^2 - a^2/2 = 7a^2/2`. `h = a*sqrt(7/2) = a*sqrt(14)/2`. Ini konsisten dengan perhitungan sebelumnya. Jadi, koordinat T = (a/2, a/2, a*sqrt(14)/2) jika A=(0,0,0), B=(a,0,0), D=(0,a,0), C=(a,a,0). P adalah titik tengah AT. P = (a/4, a/4, a*sqrt(14)/4). Kita mencari sudut antara garis PC dan bidang ABCD. Bidang ABCD adalah bidang z=0. Garis PC: Vektor arah garis PC = C - P = (a - a/4, a - a/4, 0 - a*sqrt(14)/4) = (3a/4, 3a/4, -a*sqrt(14)/4). Sudut phi antara garis dengan vektor arah v dan bidang dengan normal n adalah: `sin(phi) = |v . n| / (|v| * |n|)`. Di sini, v = PC = (3a/4, 3a/4, -a*sqrt(14)/4). n = normal bidang ABCD = (0, 0, 1). `v . n = (3a/4)(0) + (3a/4)(0) + (-a*sqrt(14)/4)(1) = -a*sqrt(14)/4`. `|v| = |PC| = a*sqrt(2)`. `|n| = 1`. `sin(phi) = |-a*sqrt(14)/4| / (a*sqrt(2) * 1)` `sin(phi) = (a*sqrt(14)/4) / (a*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(14) / (4*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(7*2) / (4*sqrt(2))` `sin(phi) = sqrt(7)/4`. Jika `sin(phi) = sqrt(7)/4`, Maka `tan(phi) = sin(phi) / sqrt(1 - sin^2(phi))` `tan(phi) = (sqrt(7)/4) / sqrt(1 - (sqrt(7)/4)^2)` `tan(phi) = (sqrt(7)/4) / sqrt(1 - 7/16)` `tan(phi) = (sqrt(7)/4) / sqrt(9/16)` `tan(phi) = (sqrt(7)/4) / (3/4)` `tan(phi) = sqrt(7)/3`. Jawaban yang benar adalah `sqrt(7)/3`.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Dimensi Tiga
Section: Sudut Antara Garis Dan Bidang
Apakah jawaban ini membantu?