Diketahui limas tegak T.ABCD.ABCD adalah persegi panjang.

8 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak titik T ke bidang ABCD, kita perlu menggunakan informasi yang diberikan tentang limas tegak T.ABCD, di mana ABCD adalah persegi panjang.

Informasi yang diberikan:
1. Limas tegak T.ABCD.
2. ABCD adalah persegi panjang.
3. Bidang TAB tegak lurus bidang ABCD.
4. TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB.
5. AB = 8√5 cm.
6. AD = 5 cm.
7. TD = 13 cm.

Karena bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, dan TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, maka tinggi segitiga TAB dari titik T ke AB akan tegak lurus terhadap AB dan juga tegak lurus terhadap bidang ABCD. Tinggi inilah yang merupakan jarak titik T ke bidang ABCD.

Misalkan M adalah titik tengah AB. Karena TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, maka TM adalah tinggi segitiga TAB dan TM tegak lurus AB.

Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AD = BC = 5 cm.
Dalam segitiga TDA, kita memiliki:
- TD = 13 cm (sisi miring)
- AD = 5 cm (salah satu sisi tegak)
- TA adalah sisi tegak lainnya.

Karena limasnya tegak, proyeksi titik T pada bidang ABCD adalah titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut alas jika alasnya adalah persegi. Namun, di sini alasnya persegi panjang dan ada informasi tambahan tentang bidang TAB tegak lurus bidang ABCD.

Mari kita gunakan informasi bahwa ABCD adalah persegi panjang dan TAB tegak lurus ABCD.
Karena ABCD adalah persegi panjang, AD = BC = 5 cm.

Perhatikan segitiga TDA. Kita tahu TD = 13 cm dan AD = 5 cm. Untuk mencari TA, kita tidak bisa langsung menggunakan teorema Pythagoras karena kita tidak tahu apakah sudut TDA adalah siku-siku.

Namun, karena bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, maka setiap garis pada bidang TAB yang tegak lurus garis potong (AB) akan tegak lurus bidang ABCD. Tinggi segitiga TAB dari T ke AB (misalkan TM, dengan M adalah titik tengah AB) akan tegak lurus AB.

Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AD = BC = 5.
Kita perlu mencari panjang TA atau TB. Karena TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, maka TA = TB.

Sekarang, mari kita pertimbangkan segitiga TDA. Kita tahu TD = 13 dan AD = 5. Titik A adalah salah satu sudut alas persegi panjang.

Karena bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, maka jarak T ke bidang ABCD adalah tinggi segitiga TAB terhadap alas AB. Misalkan tinggi ini adalah h. Maka h^2 + (AB/2)^2 = TA^2 (jika M adalah titik tengah AB dan TM = h).

Kita perlu mencari TA. Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh proyeksi T pada bidang ABCD, jika kita tahu jarak dari proyeksi tersebut ke A, B, C, atau D, kita bisa menghitung TA, TB, TC, TD.

Karena ABCD adalah persegi panjang, kita bisa menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku TDA, jika kita tahu sudut yang relevan.

Mari kita gunakan informasi bahwa bidang TAB tegak lurus bidang ABCD. Ini berarti tinggi limas dari T ke bidang ABCD, katakanlah TO (di mana O adalah titik di bidang ABCD), akan tegak lurus bidang ABCD.

Karena TAB tegak lurus ABCD, dan TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, maka tinggi dari T ke AB (misalnya TM, di mana M adalah titik tengah AB) akan tegak lurus AB.

Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AD = BC = 5 cm, dan AB = 8√5 cm.

Perhatikan segitiga siku-siku yang terbentuk jika kita memproyeksikan T ke bidang ABCD. Misalkan proyeksi T adalah titik P. Maka TP adalah jarak yang dicari.
Karena TAB tegak lurus ABCD, maka proyeksi T pada bidang ABCD pasti terletak pada garis yang tegak lurus AB di bidang ABCD. Jika kita ambil titik M sebagai titik tengah AB, maka TM adalah tinggi dari segitiga TAB.

Karena ABCD adalah persegi panjang, maka AD = 5 cm.
Dalam segitiga TDA, kita memiliki TD = 13 cm. Kita perlu mencari TA.

Mari kita gunakan informasi bahwa TAB tegak lurus ABCD. Misalkan T' adalah proyeksi T pada bidang ABCD. Karena TAB tegak lurus ABCD, maka T' pasti terletak pada garis yang tegak lurus AB di bidang ABCD. Karena TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, titik T' pasti berada pada garis sumbu simetri dari segitiga TAB, yaitu garis yang melalui M (titik tengah AB) dan tegak lurus AB.

Namun, kita tidak tahu di mana T' terletak relatif terhadap ABCD, kecuali jika T' adalah titik yang sama dengan M.

Jika kita asumsikan tinggi limas jatuh pada titik M (titik tengah AB), maka TM adalah tinggi limas. Segitiga TMA dan TMB adalah segitiga siku-siku.
TM^2 + AM^2 = TA^2
TM^2 + BM^2 = TB^2
Karena TA = TB, maka AM = BM, yang memang benar karena M adalah titik tengah AB.

Sekarang, perhatikan segitiga TDA. TD = 13, AD = 5. Kita perlu TA.
Karena ABCD adalah persegi panjang, maka sudut DAB adalah 90 derajat.

Dalam segitiga TDA, kita bisa menggunakan aturan kosinus jika kita tahu sudutnya.

Mari kita gunakan fakta bahwa TAB tegak lurus ABCD. Ini menyiratkan bahwa tinggi dari T ke garis AB (yaitu TM) adalah tegak lurus terhadap bidang ABCD jika M adalah proyeksi T pada bidang ABCD. Tapi M adalah titik tengah AB, bukan proyeksi T.

Sebuah properti penting dari dua bidang yang tegak lurus adalah bahwa garis apa pun di satu bidang yang tegak lurus garis potongnya, tegak lurus terhadap bidang lainnya.

Karena bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, dan AB adalah garis potongnya.
Kita tahu TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB. Misalkan TM adalah tinggi dari T ke AB, di mana M adalah titik tengah AB. Maka TM tegak lurus AB.
Karena TM tegak lurus AB, dan bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, maka TM tegak lurus terhadap bidang ABCD.
Jadi, panjang TM adalah jarak dari T ke bidang ABCD.

Sekarang kita perlu mencari TM. Kita tahu AB = 8√5, jadi AM = MB = 4√5.
Kita perlu mencari TA atau TB untuk menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga TMA atau TMB.

Perhatikan segitiga siku-siku TDA. Kita tahu TD = 13 dan AD = 5.
Kita perlu mencari TA. Titik A adalah salah satu sudut alas persegi panjang.

Karena ABCD adalah persegi panjang, AD = 5 cm.
Kita perlu mencari TA. Kita tahu TD = 13 cm.
Misalkan proyeksi T pada bidang ABCD adalah titik P. Maka TP adalah tinggi limas yang dicari.
Karena TAB tegak lurus ABCD, dan AB adalah perpotongannya, maka jarak T ke AB adalah tinggi limas jika T terletak tepat di atas garis yang tegak lurus AB di bidang ABCD.

Kita tahu TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB. Misalkan M adalah titik tengah AB. Maka TM adalah tinggi segitiga TAB dan TM tegak lurus AB.
Karena TAB tegak lurus ABCD, maka TM adalah tinggi limas, yaitu jarak T ke bidang ABCD.

Kita perlu mencari panjang TM. Kita punya AB = 8√5, sehingga AM = 4√5.
Kita punya TD = 13, AD = 5.

Perhatikan segitiga TDA. Kita bisa gunakan Teorema Pythagoras jika kita tahu sudutnya.
Jika kita memproyeksikan T ke bidang ABCD di titik M (titik tengah AB), maka TM adalah tinggi limas.
Dalam segitiga TDA, TD^2 = TA^2 + AD^2 - 2 * TA * AD * cos(∠TAD).
Ini rumit karena kita tidak tahu ∠TAD.

Namun, karena TAB tegak lurus ABCD, maka jarak dari T ke garis AB (yaitu tinggi segitiga TAB, TM) adalah tegak lurus terhadap bidang ABCD.

Kita punya AB = 8√5, jadi AM = 4√5.
Kita punya TD = 13, AD = 5.

Perhatikan segitiga siku-siku TDA. Untuk mencari TA, kita bisa memproyeksikan T ke bidang ABCD. Misalkan proyeksi T adalah P.
Karena ABCD adalah persegi panjang, kita bisa gunakan koordinat.
Misal A = (0, 0, 0), B = (8√5, 0, 0), D = (0, 5, 0).
Karena ABCD persegi panjang, C = (8√5, 5, 0).

Karena TAB tegak lurus ABCD, maka T berada pada bidang yang tegak lurus bidang XY (bidang ABCD) dan memotong AB.
Misalkan T = (x, y, z). Jarak T ke bidang ABCD adalah |z|.
Karena TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, titik T harus berada pada bidang simetri yang tegak lurus AB.

Jika M adalah titik tengah AB, M = (4√5, 0, 0).
Karena TAB sama kaki dengan alas AB, T harus berada di atas garis yang tegak lurus AB melalui M.
Jadi, koordinat x dari T harus sama dengan koordinat x dari M, yaitu 4√5.
T = (4√5, y, z).

Jarak TD = 13.
TD^2 = (4√5 - 0)^2 + (y - 5)^2 + (z - 0)^2
13^2 = (4√5)^2 + (y - 5)^2 + z^2
169 = (16 * 5) + (y - 5)^2 + z^2
169 = 80 + (y - 5)^2 + z^2
89 = (y - 5)^2 + z^2

Kita juga tahu bahwa TAB tegak lurus ABCD. Ini berarti vektor normal bidang TAB tegak lurus vektor normal bidang ABCD.
Vektor normal bidang ABCD adalah (0, 0, 1).

Untuk menemukan vektor normal bidang TAB, kita perlu tiga titik di bidang TAB: T, A, B.
A = (0, 0, 0)
B = (8√5, 0, 0)
T = (4√5, y, z)

Vektor AB = B - A = (8√5, 0, 0)
Vektor AT = T - A = (4√5, y, z)

Vektor normal bidang TAB = AB x AT
= (8√5, 0, 0) x (4√5, y, z)
= (0*z - 0*y, 0*4√5 - 8√5*z, 8√5*y - 0*4√5)
= (0, -8√5 z, 8√5 y)

Karena bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, hasil kali titik vektor normalnya adalah 0.
(0, -8√5 z, 8√5 y) . (0, 0, 1) = 0
0*0 + (-8√5 z)*0 + (8√5 y)*1 = 0
8√5 y = 0
y = 0

Sekarang kita punya y = 0. Substitusikan ke persamaan 89 = (y - 5)^2 + z^2:
89 = (0 - 5)^2 + z^2
89 = (-5)^2 + z^2
89 = 25 + z^2
z^2 = 89 - 25
z^2 = 64
z = ±8

Karena z merepresentasikan ketinggian, kita ambil nilai positif, z = 8.
Jadi, koordinat T adalah (4√5, 0, 8).

Jarak T ke bidang ABCD (bidang z=0) adalah nilai absolut dari koordinat z, yaitu |8| = 8 cm.

Cara Alternatif (Geometri):
Karena bidang TAB tegak lurus bidang ABCD, dan TAB adalah segitiga sama kaki dengan alas AB, maka tinggi dari T ke AB (misalkan TM, M titik tengah AB) adalah tegak lurus terhadap bidang ABCD. Jadi TM adalah tinggi limas.
Kita tahu AB = 8√5, maka AM = 4√5.
Kita punya AD = 5 dan TD = 13.
Dalam segitiga siku-siku TDA, kita tidak bisa langsung menerapkan Pythagoras.

Namun, karena ABCD adalah persegi panjang, maka AD = 5.
Perhatikan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh T, D, dan proyeksinya pada bidang ABCD. Proyeksi T pada bidang ABCD adalah M (titik tengah AB) karena TAB tegak lurus ABCD dan TAB sama kaki.
Ini berarti segitiga TDM adalah segitiga siku-siku di M.

Kita perlu mencari MD terlebih dahulu. Karena ABCD adalah persegi panjang, MD bukanlah diagonal.

Kembali ke koordinat:
A = (0, 0, 0), B = (8√5, 0, 0), D = (0, 5, 0), M = (4√5, 0, 0).
T = (4√5, 0, z).
TD^2 = (4√5 - 0)^2 + (0 - 5)^2 + (z - 0)^2
13^2 = (4√5)^2 + (-5)^2 + z^2
169 = 80 + 25 + z^2
169 = 105 + z^2
z^2 = 169 - 105
z^2 = 64
z = 8.

Jadi jarak T ke bidang ABCD adalah 8 cm.