Diketahui lingkaran dengan persamaan x^2+y^2-6x+2py+25=0

Pusat lingkaran adalah (3, 5).

Pembahasan

Diketahui persamaan lingkaran x^2+y^2-6x+2py+25=0 dan jari-jarinya adalah 3. Lingkaran ini menyinggung garis y=2.

Langkah 1: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan umum.
Persamaan umum lingkaran: x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
Pusat lingkaran: (-A/2, -B/2)
Jari-jari: r = sqrt((-A/2)^2 + (-B/2)^2 - C)

Dari persamaan x^2+y^2-6x+2py+25=0:
A = -6, B = 2p, C = 25
Pusat lingkaran (h, k) = (-(-6)/2, -(2p)/2) = (3, -p)
Jari-jari r = sqrt((3)^2 + (-p)^2 - 25) = sqrt(9 + p^2 - 25) = sqrt(p^2 - 16)

Langkah 2: Gunakan informasi jari-jari yang diberikan.
Diketahui jari-jari r = 3.
Maka, 3 = sqrt(p^2 - 16)
Pangkatkan kedua sisi: 3^2 = p^2 - 16
9 = p^2 - 16
p^2 = 9 + 16
p^2 = 25
p = ±5

Langkah 3: Gunakan informasi bahwa lingkaran menyinggung garis y=2.
Jika lingkaran menyinggung garis y=2, maka jarak dari pusat lingkaran (3, -p) ke garis y=2 sama dengan jari-jari lingkaran.
Jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Garis y=2 dapat ditulis sebagai 0x + 1y - 2 = 0.

Jarak = |0*(3) + 1*(-p) - 2| / sqrt(0^2 + 1^2)
Jarak = |-p - 2| / 1 = |-p - 2|

Karena jarak ini sama dengan jari-jari (r=3), maka:
|-p - 2| = 3

Ini berarti ada dua kemungkinan:
Kemungkinan 1: -p - 2 = 3
-p = 5
p = -5

Kemungkinan 2: -p - 2 = -3
-p = -1
p = 1

Langkah 4: Cocokkan nilai p yang didapat dari jari-jari dan dari garis singgung.
Dari informasi jari-jari, kita mendapatkan p = ±5.
Dari informasi garis singgung, kita mendapatkan p = -5 atau p = 1.

Nilai p yang memenuhi kedua kondisi adalah p = -5.

Langkah 5: Tentukan pusat lingkaran.
Pusat lingkaran adalah (3, -p). Dengan p = -5, maka pusatnya adalah (3, -(-5)) = (3, 5).

Namun, perlu diperiksa kembali hubungan antara pusat dan garis singgung. Jika lingkaran menyinggung garis y=2, maka jarak vertikal dari pusat ke garis tersebut adalah jari-jari. Jari-jari adalah 3.
Pusatnya (3, -p).
Jika pusat berada di atas garis y=2, maka -p = 2 + 3 = 5, sehingga p = -5.
Jika pusat berada di bawah garis y=2, maka -p = 2 - 3 = -1, sehingga p = 1.

Mari kita gunakan p = ±5 dari perhitungan jari-jari.
Jika p = 5, pusatnya adalah (3, -5). Jarak ke y=2 adalah |-5-2| = |-7| = 7. Ini tidak sama dengan jari-jari 3. Jadi p=5 tidak memenuhi.
Jika p = -5, pusatnya adalah (3, 5). Jarak ke y=2 adalah |5-2| = |3| = 3. Ini sama dengan jari-jari 3. Jadi p=-5 memenuhi.

Oleh karena itu, nilai p yang benar adalah -5, dan pusat lingkaran adalah (3, 5).