Diketahui lingkaran L=x^2+y^2-2x+4y-4=0. Lingkaran L

x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan transformasi geometri pada lingkaran.

Persamaan lingkaran awal: L = x^2 + y^2 - 2x + 4y - 4 = 0

Langkah 1: Cari pusat dan jari-jari lingkaran awal.
Kita ubah persamaan ke bentuk (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.
(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = 4
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = 4 + 1 + 4
(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9

Pusat lingkaran awal (a, b) = (1, -2)
Jari-jari (r) = sqrt(9) = 3

Langkah 2: Pencerminan terhadap sumbu Y.
Jika sebuah titik (x, y) dicerminkan terhadap sumbu Y, bayangannya adalah (-x, y).
Bayangan pusat (1, -2) terhadap sumbu Y adalah (-1, -2).
Persamaan bayangan lingkaran setelah pencerminan terhadap sumbu Y:
(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 3^2
(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9

Langkah 3: Pencerminan terhadap garis x + 1 = 0 (atau x = -1).
Sekarang kita cerminkan bayangan lingkaran dari Langkah 2 terhadap garis x = -1.
Jika sebuah titik (x', y') dicerminkan terhadap garis x = k, bayangannya adalah (2k - x', y').
Dalam kasus ini, k = -1.

Bayangan pusat (-1, -2) terhadap garis x = -1:
Titik x: 2(-1) - (-1) = -2 + 1 = -1
Titik y: -2 (karena pencerminan hanya pada sumbu x)

Jadi, bayangan pusatnya adalah (-1, -2).

Mari kita gunakan transformasi pada persamaan bayangan lingkaran dari Langkah 2:
Persamaan sebelum pencerminan kedua: (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.

Kita substitusikan x dengan (2k - x) = (2(-1) - x) = (-2 - x) dan y dengan y.
(-2 - x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9
(-1 - x)^2 + (y + 2)^2 = 9
(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9

Ini tampaknya tidak berubah. Mari kita tinjau kembali logika pencerminan.

Pusat (1, -2) dicerminkan terhadap sumbu Y menjadi (-1, -2).
Persamaan lingkaran: (x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 9 => (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.

Sekarang, bayangan dari lingkaran ini dicerminkan lagi terhadap garis x + 1 = 0 (atau x = -1).
Sebuah titik (x', y') pada lingkaran (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9 akan ditransformasikan.

Transformasi titik (x', y') terhadap garis x = -1 adalah (2*(-1) - x', y') = (-2 - x', y').
Jadi, x'' = -2 - x' dan y'' = y'.
Dari sini, x' = -2 - x''.

Substitusikan x' ke persamaan lingkaran setelah pencerminan pertama:
((-2 - x'') + 1)^2 + (y'' + 2)^2 = 9
(-1 - x'')^2 + (y'' + 2)^2 = 9
(x'' + 1)^2 + (y'' + 2)^2 = 9

Jadi, persamaan bayangan lingkaran adalah (x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 9.
Mari kita ekspansikan:
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 9
x^2 + y^2 + 2x + 4y + 5 = 9
x^2 + y^2 + 2x + 4y - 4 = 0