Diketahui matriks A=(2 0 0 2) dan B=(5 6 7 8). Diberikan

Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) benar.

Pembahasan

Mari kita analisis setiap pernyataan:

Diketahui matriks A = [[2, 0], [0, 2]] dan B = [[5, 6], [7, 8]].

(1) A^2 = 2A
A^2 = A * A = [[2, 0], [0, 2]] * [[2, 0], [0, 2]] = [[(2*2)+(0*0), (2*0)+(0*2)], [(0*2)+(2*0), (0*0)+(2*2)]] = [[4, 0], [0, 4]]
2A = 2 * [[2, 0], [0, 2]] = [[4, 0], [0, 4]]
Jadi, A^2 = 2A. Pernyataan (1) BENAR.

(2) A.B = B.A
A.B = [[2, 0], [0, 2]] * [[5, 6], [7, 8]] = [[(2*5)+(0*7), (2*6)+(0*8)], [(0*5)+(2*7), (0*6)+(2*8)]] = [[10, 12], [14, 16]]
B.A = [[5, 6], [7, 8]] * [[2, 0], [0, 2]] = [[(5*2)+(6*0), (5*0)+(6*2)], [(7*2)+(8*0), (7*0)+(8*2)]] = [[10, 12], [14, 16]]
Jadi, A.B = B.A. Pernyataan (2) BENAR. (Matriks A adalah matriks skalar, yang selalu komutatif dengan matriks lain berukuran sama).

(3) A.B = 2B
Dari perhitungan di atas, A.B = [[10, 12], [14, 16]].
2B = 2 * [[5, 6], [7, 8]] = [[10, 12], [14, 16]].
Jadi, A.B = 2B. Pernyataan (3) BENAR.

(4) B.A.B = 2B^2
Kita tahu B.A = [[10, 12], [14, 16]].
B.A.B = (B.A) * B = [[10, 12], [14, 16]] * [[5, 6], [7, 8]]
= [[(10*5)+(12*7), (10*6)+(12*8)], [(14*5)+(16*7), (14*6)+(16*8)]]
= [[50+84, 60+96], [70+112, 84+128]]
= [[134, 156], [182, 212]]

Sekarang hitung 2B^2:
B^2 = B * B = [[5, 6], [7, 8]] * [[5, 6], [7, 8]]
= [[(5*5)+(6*7), (5*6)+(6*8)], [(7*5)+(8*7), (7*6)+(8*8)]]
= [[25+42, 30+48], [35+56, 42+64]]
= [[67, 78], [91, 106]]

2B^2 = 2 * [[67, 78], [91, 106]] = [[134, 156], [182, 212]]

Jadi, B.A.B = 2B^2. Pernyataan (4) BENAR.

Kesimpulan: Semua pernyataan (1), (2), (3), dan (4) adalah benar.