Diketahui matriks A=(a+b -c b a-b), B=(1 a 3b c), dan C=(-3

Nilai (a+b+c) adalah -3.

Pembahasan

Diberikan matriks:
\(A = \begin{pmatrix} a+b & -c \\ b & a-b \end{pmatrix}\)
\(B = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 3b & c \end{pmatrix}\)
\(C = \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 5b & -a \end{pmatrix}\)

Dan hubungan \(B + C = -2A^T\), di mana \(A^T\) adalah transpose dari matriks A.

Pertama, kita cari \(A^T\):
\(A^T = \begin{pmatrix} a+b & b \\ -c & a-b \end{pmatrix}\)

Selanjutnya, kita hitung \(B + C\):
\(B + C = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 3b & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3 & 0 \\ 5b & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+(-3) & a+0 \\ 3b+5b & c+(-a) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & a \\ 8b & c-a \end{pmatrix}\)

Sekarang, kita hitung \(-2A^T\):
\(-2A^T = -2 \begin{pmatrix} a+b & b \\ -c & a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(a+b) & -2b \\ -2(-c) & -2(a-b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a-2b & -2b \\ 2c & -2a+2b \end{pmatrix}\)

Sekarang samakan \(B + C\) dengan \(-2A^T\):
\(\begin{pmatrix} -2 & a \\ 8b & c-a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a-2b & -2b \\ 2c & -2a+2b \end{pmatrix}\)

Dari kesamaan elemen-elemen matriks, kita dapatkan sistem persamaan:
1. \(-2 = -2a - 2b\)  => \(1 = a + b\)
2. \(a = -2b\)
3. \(8b = 2c\)      => \(4b = c\)
4. \(c - a = -2a + 2b\) => \(c + a = 2b\)

Dari persamaan (1) dan (2), substitusikan \(a = -2b\) ke persamaan (1):
\(1 = (-2b) + b\)
\(1 = -b\)
\(b = -1\)

Sekarang cari nilai \(a\) menggunakan \(a = -2b\):
\(a = -2(-1) = 2\)

Cari nilai \(c\) menggunakan \(c = 4b\):
\(c = 4(-1) = -4\)

Terakhir, kita perlu mencari nilai \((a+b+c)\):
\(a+b+c = 2 + (-1) + (-4) = 2 - 1 - 4 = 1 - 4 = -3\)

Jadi, nilai \((a+b+c)\) adalah -3.