Nilai limit x->0 ((x^2-1)sin 6x)/(x^3+3x^2+2x)= ...

Nilai limitnya adalah -3.

Pembahasan

Untuk mencari nilai limit \(x \to 0\) dari ekspresi \(\frac{(x^2-1) \sin 6x}{x^3+3x^2+2x}\), kita dapat menggunakan beberapa teknik limit.

Pertama, kita faktorkan penyebutnya: \(x^3+3x^2+2x = x(x^2+3x+2) = x(x+1)(x+2)\).

Sekarang, ekspresi limitnya menjadi:
\(\lim_{x \to 0} \frac{(x^2-1) \sin 6x}{x(x+1)(x+2)}\)

Kita bisa memisahkan \(\sin 6x / x\) karena kita tahu bahwa \(\lim_{x 	o 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1\). Untuk melakukan ini, kita kalikan \(\sin 6x\) dengan \(6x/6x\):
\(\lim_{x \to 0} \frac{(x^2-1)}{ (x+1)(x+2)} \cdot \frac{\sin 6x}{x} \cdot \frac{6x}{6x}\)

Ini dapat ditulis ulang sebagai:
\(\lim_{x \to 0} \frac{(x^2-1)}{(x+1)(x+2)} \cdot 6 \cdot \frac{\sin 6x}{6x}\)

Sekarang, kita evaluasi limitnya suku demi suku:

1.  \(\lim_{x \to 0} \frac{(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}\)
    Substitusikan \(x=0\):
    \(\frac{(0^2-1)}{(0+1)(0+2)} = \frac{-1}{(1)(2)} = -\frac{1}{2}\)

2.  \(\lim_{x \to 0} 6 = 6\)

3.  \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} = 1\)

Kalikan semua hasil limit:
\(-\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 1 = -3\)

Jadi, nilai limit \(x \to 0\) dari \(\frac{(x^2-1) \sin 6x}{x^3+3x^2+2x}\) adalah -3.