Nilai lim _(x -> 0) cosec 3 x . tan 2 x=..

2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \csc(3x) \cdot \tan(2x)$, kita dapat mengubah bentuk $\csc(3x)$ menjadi $\frac{1}{\sin(3x)}$.
Limit tersebut menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{\sin(3x)}$.
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(ax)}{ax} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(bx)}{bx} = 1$.
Oleh karena itu, kita dapat mengalikan dan membagi dengan $2x$ dan $3x$ untuk mendapatkan bentuk yang sesuai:
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{\sin(3x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{\tan(2x)}{2x} \cdot \frac{3x}{\sin(3x)} \cdot \frac{2x}{3x} \right)$
$= \left( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{2x} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sin(3x)} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{3x} \right)$
$= 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{3}$
$= \frac{2}{3}$