Diketahui matriks-matriks: K=(3x-2y 20 x+2z 2x+y) dan

x = 71/29, y = -80/29, z = -83/29

Pembahasan

Diketahui matriks K dan L:
$K = \begin{pmatrix} 3x-2y & 20 \\ x+2z & 2x+y \end{pmatrix}$
$L = \begin{pmatrix} 10-z & -2z-9 \\ 20 & z+5 \end{pmatrix}$

Diketahui bahwa $K = L^t$. Transpose dari matriks L, $L^t$, adalah matriks L yang baris dan kolomnya ditukar:
$L^t = \begin{pmatrix} 10-z & 20 \\ -2z-9 & z+5 \end{pmatrix}$

Karena $K = L^t$, maka elemen-elemen yang bersesuaian dari kedua matriks harus sama:

1. Elemen baris 1, kolom 1:
$3x - 2y = 10 - z$  (Persamaan 1)

2. Elemen baris 1, kolom 2:
$20 = 20$ (Ini selalu benar dan tidak memberikan informasi baru)

3. Elemen baris 2, kolom 1:
$x + 2z = -2z - 9$  (Persamaan 2)

4. Elemen baris 2, kolom 2:
$2x + y = z + 5$  (Persamaan 3)

Sekarang kita perlu menyelesaikan sistem persamaan linear ini untuk mencari nilai x, y, dan z.

Dari Persamaan 2:
$x + 2z = -2z - 9$
$x = -4z - 9$ (Persamaan 4)

Substitusikan Persamaan 4 ke Persamaan 3:
$2(-4z - 9) + y = z + 5$
$-8z - 18 + y = z + 5$
$y = z + 5 + 8z + 18$
$y = 9z + 23$ (Persamaan 5)

Sekarang substitusikan Persamaan 4 dan Persamaan 5 ke Persamaan 1:
$3(-4z - 9) - 2(9z + 23) = 10 - z$
$-12z - 27 - 18z - 46 = 10 - z$
$-30z - 73 = 10 - z$
$-73 - 10 = -z + 30z$
$-83 = 29z$
$z = -83 / 29$

Karena nilai z adalah pecahan yang rumit, mari kita periksa kembali apakah ada kesalahan atau jika soal memang dirancang demikian. Jika soal ini berasal dari sumber tertentu, ada kemungkinan ada kesalahan ketik dalam matriksnya.

Namun, jika kita harus melanjutkan dengan nilai z ini, kita akan menemukan x dan y:

Substitusikan $z = -83/29$ ke Persamaan 4:
$x = -4(-83/29) - 9$
$x = 332/29 - 9 * (29/29)$
$x = 332/29 - 261/29$
$x = 71/29$

Substitusikan $z = -83/29$ ke Persamaan 5:
$y = 9(-83/29) + 23$
$y = -747/29 + 23 * (29/29)$
$y = -747/29 + 667/29$
$y = -80/29$

Jadi, nilai-nilai yang ditemukan adalah $x = 71/29$, $y = -80/29$, dan $z = -83/29$.

Namun, seringkali soal matriks dirancang untuk memberikan hasil bilangan bulat yang lebih sederhana. Mari kita asumsikan ada kemungkinan kesalahan ketik di soal dan coba cari solusi jika ada angka yang berbeda.

Jika kita mengasumsikan bahwa ada kesalahan dan $x+2z$ seharusnya sama dengan 20 (elemen dari $L^t$), maka:
$x+2z = 20 
 x = 20-2z$

Dan jika $2x+y$ seharusnya sama dengan $z+5$, ini tetap sama.

Jika kita menggunakan $x = -4z-9$ dan $y = 9z+23$, dan memasukkannya ke dalam persamaan pertama $3x-2y = 10-z$, kita mendapatkan z yang bukan bilangan bulat. Ini menunjukkan kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan soal matriks K atau L, atau dalam relasi $K = L^t$.

Dengan asumsi soal adalah benar sebagaimana adanya, nilai-nilai yang ditemukan adalah $x = 71/29$, $y = -80/29$, dan $z = -83/29$.