Diketahui matriks P^-1= (0 1 4 3) dan Q^-1 =(-2 0 1 7).

Invers matriks PQ adalah [[0, -2], [28, 22]].

Pembahasan

Untuk mencari invers dari hasil perkalian dua matriks, kita perlu mencari invers dari masing-masing matriks terlebih dahulu, kemudian mengalikan invers tersebut dalam urutan yang terbalik. Diketahui P^-1 dan Q^-1.

Rumus untuk invers dari perkalian dua matriks adalah (PQ)^-1 = Q^-1 P^-1.

Namun, soal memberikan P^-1 dan Q^-1 secara langsung, dan meminta invers dari PQ. Jika yang dimaksud adalah P dan Q adalah matriks awal, dan P^-1 dan Q^-1 adalah inversnya, maka untuk mencari (PQ)^-1 kita harus mengalikan Q^-1 dengan P^-1.

Tetapi, mari kita asumsikan bahwa soal memberikan P^-1 dan Q^-1, dan meminta (PQ)^-1. Maka, kita perlu mencari P dan Q terlebih dahulu jika kita ingin mengalikan P dengan Q lalu mencari inversnya. Namun, jika kita langsung mengalikan Q^-1 dengan P^-1, kita akan mendapatkan (QP)^-1, bukan (PQ)^-1.

Jika P^-1 = [[0, 1], [4, 3]] dan Q^-1 = [[-2, 0], [1, 7]], maka untuk mencari (PQ)^-1 kita perlu mencari P dan Q terlebih dahulu.

P = (P^-1)^-1
P = [[0, 1], [4, 3]]^-1
Det(P^-1) = (0*3) - (1*4) = -4
P = (1/-4) * [[3, -1], [-4, 0]] = [[-3/4, 1/4], [1, 0]]

Q = (Q^-1)^-1
Q = [[-2, 0], [1, 7]]^-1
Det(Q^-1) = (-2*7) - (0*1) = -14
Q = (1/-14) * [[7, 0], [-1, -2]] = [[-7/14, 0], [1/14, 2/14]] = [[-1/2, 0], [1/14, 1/7]]

Sekarang kita kalikan P dengan Q:
PQ = [[-3/4, 1/4], [1, 0]] * [[-1/2, 0], [1/14, 1/7]]
PQ = [[(-3/4)(-1/2) + (1/4)(1/14), (-3/4)(0) + (1/4)(1/7)], [(1)(-1/2) + (0)(1/14), (1)(0) + (0)(1/7)]]
PQ = [[3/8 + 1/56, 0 + 1/28], [-1/2 + 0, 0 + 0]]
PQ = [[21/56 + 1/56, 1/28], [-1/2, 0]]
PQ = [[22/56, 1/28], [-1/2, 0]]
PQ = [[11/28, 1/28], [-1/2, 0]]

Sekarang kita cari invers dari PQ:
Det(PQ) = (11/28)(0) - (1/28)(-1/2) = 0 - (-1/56) = 1/56
(PQ)^-1 = (1 / (1/56)) * [[0, -1/28], [1/2, 11/28]]
(PQ)^-1 = 56 * [[0, -1/28], [1/2, 11/28]]
(PQ)^-1 = [[0, -56/28], [56/2, 56*11/28]]
(PQ)^-1 = [[0, -2], [28, 2*11]]
(PQ)^-1 = [[0, -2], [28, 22]]

Alternatif lain, jika kita mengalikan Q^-1 P^-1:
Q^-1 P^-1 = [[-2, 0], [1, 7]] * [[0, 1], [4, 3]]
Q^-1 P^-1 = [[(-2)(0) + (0)(4), (-2)(1) + (0)(3)], [(1)(0) + (7)(4), (1)(1) + (7)(3)]]
Q^-1 P^-1 = [[0 + 0, -2 + 0], [0 + 28, 1 + 21]]
Q^-1 P^-1 = [[0, -2], [28, 22]]

Hasilnya sama, jadi (PQ)^-1 = [[0, -2], [28, 22]].