Diketahui nilai integral -1 p (8x)(2-x^2)^3 dx=-15. Nilai p

p=2

Pembahasan

Kita diberikan nilai integral:
∫[-1, p] (8x)(2-x^2)^3 dx = -15

Untuk menyelesaikan integral ini, kita bisa menggunakan metode substitusi.
Misalkan u = 2 - x^2. Maka, du = -2x dx.
Sehingga, x dx = -1/2 du.

Sekarang kita perlu mengubah batas integrasi:
Ketika x = -1, u = 2 - (-1)^2 = 2 - 1 = 1.
Ketika x = p, u = 2 - p^2.

Integral tersebut menjadi:
∫[1, 2-p^2] 8 * (-1/2) * u^3 du
= ∫[1, 2-p^2] -4u^3 du

Integralkan -4u^3 terhadap u:
= [-4 * (u^4 / 4)] dari 1 sampai 2-p^2
= [-u^4] dari 1 sampai 2-p^2

Substitusikan batas atas dan bawah:
= -(2 - p^2)^4 - (-(1)^4)
= -(2 - p^2)^4 + 1

Kita tahu bahwa hasil integral ini adalah -15:
-(2 - p^2)^4 + 1 = -15
-(2 - p^2)^4 = -15 - 1
-(2 - p^2)^4 = -16
(2 - p^2)^4 = 16

Ambil akar pangkat empat dari kedua sisi:
2 - p^2 = ±√[4]{16}
2 - p^2 = ±2

Kasus 1: 2 - p^2 = 2
-p^2 = 0
p^2 = 0
p = 0 (Ini bukan nilai positif)

Kasus 2: 2 - p^2 = -2
-p^2 = -2 - 2
-p^2 = -4
p^2 = 4
p = ±2

Karena ditanyakan nilai p positif yang memenuhi, maka p = 2.

Jawaban: Nilai p positif yang memenuhi adalah 2.