Diketahui panjang rusuk kubus di atas adalah 6 cm. Titik K,

6 cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak garis KL ke bidang DMN, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang dan vektor.

Informasi yang diberikan:
- Kubus dengan panjang rusuk 6 cm.
- K, L, M, N adalah titik tengah dari rusuk AB, BC, EH, dan GH.

Kita perlu menentukan koordinat titik-titik tersebut dalam sistem koordinat Kartesius.
Misalkan titik D sebagai pusat koordinat (0,0,0).

Koordinat titik-titik kubus:
Asumsikan rusuk sejajar dengan sumbu x, y, dan z.
Rusuk AD sejajar sumbu y, AB sejajar sumbu x, AE sejajar sumbu z.

D = (0,0,0)
A = (6,0,0)
B = (6,6,0)
C = (0,6,0)
E = (6,0,6)
F = (6,6,6)
G = (0,6,6)
H = (0,0,6)

Titik tengah:
K adalah titik tengah AB: K = ((6+6)/2, (0+6)/2, (0+0)/2) = (6, 3, 0)
L adalah titik tengah BC: L = ((6+0)/2, (6+6)/2, (0+0)/2) = (3, 6, 0)
M adalah titik tengah EH: M = ((6+0)/2, (0+0)/2, (6+6)/2) = (3, 0, 6)
N adalah titik tengah GH: N = ((0+0)/2, (6+0)/2, (6+6)/2) = (0, 3, 6)

Bidang DMN:
Bidang ini dibentuk oleh titik D(0,0,0), M(3,0,6), dan N(0,3,6).

Garis KL:
Garis ini dibentuk oleh titik K(6,3,0) dan L(3,6,0).

Untuk mencari jarak garis KL ke bidang DMN, kita bisa menggunakan rumus jarak titik ke bidang, namun kita perlu memilih satu titik pada garis KL (misalnya K) dan mencari jaraknya ke bidang DMN. Namun, ini hanya berlaku jika garis KL sejajar dengan bidang DMN. Jika tidak sejajar, kita perlu mencari proyeksi titik pada bidang atau menggunakan metode vektor.

Mari kita periksa apakah garis KL sejajar dengan bidang DMN.

Sebuah vektor normal untuk bidang DMN dapat ditemukan dengan mengalikan silang vektor DM dan DN.
DM = M - D = (3,0,6)
DN = N - D = (0,3,6)

n = DM x DN =  | i  j  k |
                 | 3  0  6 |
                 | 0  3  6 |

n = i(0*6 - 6*3) - j(3*6 - 6*0) + k(3*3 - 0*0)
n = i(-18) - j(18) + k(9)
n = (-18, -18, 9)
Kita bisa menyederhanakan vektor normal dengan membaginya dengan 9: n = (-2, -2, 1).

Sekarang, kita periksa apakah vektor arah garis KL tegak lurus terhadap vektor normal bidang DMN. Vektor arah garis KL adalah KL = L - K = (3-6, 6-3, 0-0) = (-3, 3, 0).

Dot product KL . n = (-3)(-2) + (3)(-2) + (0)(1) = 6 - 6 + 0 = 0.

Karena dot productnya adalah 0, ini berarti vektor arah garis KL tegak lurus terhadap vektor normal bidang DMN. Ini mengindikasikan bahwa garis KL sejajar dengan bidang DMN.

Sekarang kita dapat menghitung jarak dari salah satu titik pada garis KL (misalnya K) ke bidang DMN.
Persamaan bidang DMN yang melalui D(0,0,0) dengan vektor normal n = (-2, -2, 1) adalah:
-2(x - 0) - 2(y - 0) + 1(z - 0) = 0
-2x - 2y + z = 0

Jarak dari titik K(6,3,0) ke bidang -2x - 2y + z = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
d = |-2(6) - 2(3) + 1(0) + 0| / sqrt((-2)^2 + (-2)^2 + 1^2)
d = |-12 - 6 + 0| / sqrt(4 + 4 + 1)
d = |-18| / sqrt(9)
d = 18 / 3
d = 6

Jadi, jarak garis KL ke bidang DMN adalah 6 cm.

Penjelasan alternatif menggunakan transformasi atau proyeksi:

Perhatikan bahwa bidang DMN memotong kubus. Garis KL berada pada bidang alas kubus (z=0).

Bidang DMN dibentuk oleh titik D (0,0,0), M (3,0,6), N (0,3,6). Vektor DM = (3,0,6), DN = (0,3,6).

Garis KL dibentuk oleh titik K (6,3,0), L (3,6,0). Vektor KL = (-3,3,0).

Karena KL sejajar dengan bidang DMN (seperti yang ditunjukkan oleh dot product 0), jaraknya konstan. Kita dapat menghitung jarak dari titik K ke bidang DMN.

Persamaan bidang DMN: -2x - 2y + z = 0.
Jarak dari K(6,3,0) ke bidang ini adalah 6 cm.