Diketahui panjang vektor-vektor a,b, dan c masing-masing 4

Nilai dari a.b + b.c + c.a adalah -24.

Pembahasan

Diketahui:
Panjang vektor |a| = 4 satuan
Panjang vektor |b| = 4 satuan
Panjang vektor |c| = 4 satuan
a + b + c = 0

Kita perlu mencari nilai dari a.b + b.c + c.a.
Dari persamaan a + b + c = 0, kita dapat menulis:
a + b = -c

Kuadratkan kedua sisi persamaan:
(a + b)² = (-c)²
a² + 2(a.b) + b² = c²

Substitusikan nilai panjang vektor:
|a|² + 2(a.b) + |b|² = |c|²
4² + 2(a.b) + 4² = 4²
16 + 2(a.b) + 16 = 16
32 + 2(a.b) = 16
2(a.b) = 16 - 32
2(a.b) = -16
a.b = -8

Dengan cara yang sama, kita bisa mendapatkan:
b + c = -a
(b + c)² = (-a)²
b² + 2(b.c) + c² = a²
4² + 2(b.c) + 4² = 4²
16 + 2(b.c) + 16 = 16
32 + 2(b.c) = 16
2(b.c) = -16
b.c = -8

Dan:
c + a = -b
(c + a)² = (-b)²
c² + 2(c.a) + a² = b²
4² + 2(c.a) + 4² = 4²
16 + 2(c.a) + 16 = 16
32 + 2(c.a) = 16
2(c.a) = -16
c.a = -8

Jadi, nilai dari a.b + b.c + c.a adalah:
-8 + (-8) + (-8) = -24

Jawaban: -24