Diketahui persamaan Iingkaran x^2+y^2+4x+6y-12=0. Jika

a. Persamaan bayangan lingkaran adalah x^2 + y^2 - 18x - 12y - 108 = 0. b. Perbandingan luas lingkaran semula dengan bayangannya adalah 1:9.

Pembahasan

a. Persamaan bayangan lingkaran:
Lingkaran awal: x^2 + y^2 + 4x + 6y - 12 = 0
Pusat lingkaran (P) = (-2, -3) dan jari-jari (r) = sqrt((-2)^2 + (-3)^2 - (-12)) = sqrt(4 + 9 + 12) = sqrt(25) = 5.

Pencerminan terhadap garis x - y = 0 (garis y = x) akan menukar koordinat x dan y. Jadi, bayangan pusat P' = (-3, -2).

Dilatasi D[O, -3] berarti setiap titik (x, y) menjadi (-3x, -3y).
Maka, bayangan pusat P'' = (-3 * -3, -3 * -2) = (9, 6).
Jari-jari setelah dilatasi menjadi 3 kali semula, sehingga r' = 3 * 5 = 15.

Persamaan bayangan lingkaran adalah (x - 9)^2 + (y - 6)^2 = 15^2
x^2 - 18x + 81 + y^2 - 12y + 36 = 225
x^2 + y^2 - 18x - 12y + 117 - 225 = 0
x^2 + y^2 - 18x - 12y - 108 = 0.

b. Perbandingan luas lingkaran semula dengan bayangannya:
Luas lingkaran semula = pi * r^2 = pi * 5^2 = 25*pi.
Luas lingkaran bayangan = pi * (r')^2 = pi * 15^2 = 225*pi.
Perbandingan luas = Luas semula / Luas bayangan = (25*pi) / (225*pi) = 25/225 = 1/9.