Diketahui persamaan kuadrat x^2 + (2p - 1)x + p^2 - 3p - 4

-17/8 ≤ p < -1

Pembahasan

Untuk menentukan nilai p agar kedua akar persamaan kuadrat x^2 + (2p - 1)x + p^2 - 3p - 4 = 0 positif, kita perlu memenuhi tiga syarat:

1. Diskriminan (D) harus non-negatif (agar akar real).
D = b^2 - 4ac
Dalam persamaan ini, a = 1, b = (2p - 1), dan c = (p^2 - 3p - 4).

D = (2p - 1)^2 - 4(1)(p^2 - 3p - 4)
D = (4p^2 - 4p + 1) - 4p^2 + 12p + 16
D = 8p + 17

Agar akar real, D ≥ 0:
8p + 17 ≥ 0
8p ≥ -17
p ≥ -17/8

2. Jumlah akar (x1 + x2) harus positif.
Jumlah akar = -b/a
= -(2p - 1)/1
= -2p + 1

Agar jumlah akar positif:
-2p + 1 > 0
-2p > -1
p < 1/2

3. Hasil kali akar (x1 * x2) harus positif.
Hasil kali akar = c/a
= (p^2 - 3p - 4)/1
= p^2 - 3p - 4

Agar hasil kali akar positif, p^2 - 3p - 4 > 0.
Kita perlu mencari akar dari p^2 - 3p - 4 = 0.
(p - 4)(p + 1) = 0
Akar-akarnya adalah p = 4 dan p = -1.

Karena parabola terbuka ke atas, maka p^2 - 3p - 4 > 0 ketika p < -1 atau p > 4.

Sekarang, kita gabungkan ketiga syarat tersebut:
1. p ≥ -17/8
2. p < 1/2
3. p < -1 atau p > 4

Dari syarat 1 dan 2, kita dapatkan -17/8 ≤ p < 1/2.

Sekarang kita bandingkan hasil ini dengan syarat 3:
- Jika p < -1, maka ini tidak memenuhi syarat -17/8 ≤ p < 1/2.
- Jika p > 4, maka ini juga tidak memenuhi syarat -17/8 ≤ p < 1/2.

Namun, kita perlu memeriksa kembali syarat 2 dan 3. Jika kedua akar positif, maka jumlahnya positif dan hasil kalinya juga positif. Kesalahan mungkin ada dalam interpretasi atau perhitungan.

Mari kita periksa kembali:
Syarat 1: D >= 0 => p >= -17/8
Syarat 2: x1 + x2 > 0 => -2p + 1 > 0 => p < 1/2
Syarat 3: x1 * x2 > 0 => p^2 - 3p - 4 > 0 => (p-4)(p+1) > 0 => p < -1 atau p > 4

Untuk memenuhi semua syarat, kita perlu mencari irisan dari ketiga kondisi tersebut:
Irisan dari (p >= -17/8) dan (p < 1/2) adalah -17/8 <= p < 1/2.

Sekarang kita iriskan hasil ini dengan (p < -1 atau p > 4).

-17/8 adalah sekitar -2.125.

Jadi kita punya: -2.125 <= p < 0.5
Dan kita punya: p < -1 atau p > 4

Irisan dari kedua kondisi ini tidak ada.

Mari kita cek kembali soalnya, apakah ada kekeliruan dalam soal atau pemahaman saya.

Jika kedua akar harus positif, maka:
1. Diskriminan harus non-negatif: D ≥ 0 => p ≥ -17/8
2. Jumlah akar harus positif: x₁ + x₂ > 0 => -b/a > 0 => -(2p - 1) > 0 => -2p + 1 > 0 => p < 1/2
3. Hasil kali akar harus positif: x₁ * x₂ > 0 => c/a > 0 => p² - 3p - 4 > 0 => (p - 4)(p + 1) > 0 => p < -1 atau p > 4

Kita perlu mencari nilai p yang memenuhi ketiga kondisi tersebut:
Kondisi 1: p ≥ -17/8
Kondisi 2: p < 1/2
Kondisi 3: p < -1 atau p > 4

Dari kondisi 1 dan 2, kita mendapatkan interval: [-17/8, 1/2)

Sekarang kita cari irisan dari [-17/8, 1/2) dengan (p < -1 atau p > 4).

Interval [-17/8, 1/2) adalah [-2.125, 0.5).

Jika kita iriskan dengan p < -1, maka bagian yang memenuhi adalah [-2.125, -1).

Jika kita iriskan dengan p > 4, maka tidak ada bagian yang memenuhi karena interval kita berakhir di 0.5.

Jadi, nilai p yang memenuhi adalah -17/8 ≤ p < -1.

Kemungkinan ada kesalahan dalam asumsi soal atau pilihan jawaban yang diberikan jika ini adalah soal pilihan ganda. Namun, berdasarkan syarat matematis agar kedua akar positif, nilai p berada dalam rentang -17/8 ≤ p < -1.