Kelas 11Kelas 10mathPersamaan Kuadrat
Diketahui persamaan kuadrat x^2 + (2p - 1)x + p^2 - 3p - 4
Pertanyaan
Diketahui persamaan kuadrat x^2 + (2p - 1)x + p^2 - 3p - 4 = 0. Tentukan nilai p agar kedua akarnya positif.
Solusi
Verified
-17/8 ≤ p < -1
Pembahasan
Untuk menentukan nilai p agar kedua akar persamaan kuadrat x^2 + (2p - 1)x + p^2 - 3p - 4 = 0 positif, kita perlu memenuhi tiga syarat: 1. Diskriminan (D) harus non-negatif (agar akar real). D = b^2 - 4ac Dalam persamaan ini, a = 1, b = (2p - 1), dan c = (p^2 - 3p - 4). D = (2p - 1)^2 - 4(1)(p^2 - 3p - 4) D = (4p^2 - 4p + 1) - 4p^2 + 12p + 16 D = 8p + 17 Agar akar real, D ≥ 0: 8p + 17 ≥ 0 8p ≥ -17 p ≥ -17/8 2. Jumlah akar (x1 + x2) harus positif. Jumlah akar = -b/a = -(2p - 1)/1 = -2p + 1 Agar jumlah akar positif: -2p + 1 > 0 -2p > -1 p < 1/2 3. Hasil kali akar (x1 * x2) harus positif. Hasil kali akar = c/a = (p^2 - 3p - 4)/1 = p^2 - 3p - 4 Agar hasil kali akar positif, p^2 - 3p - 4 > 0. Kita perlu mencari akar dari p^2 - 3p - 4 = 0. (p - 4)(p + 1) = 0 Akar-akarnya adalah p = 4 dan p = -1. Karena parabola terbuka ke atas, maka p^2 - 3p - 4 > 0 ketika p < -1 atau p > 4. Sekarang, kita gabungkan ketiga syarat tersebut: 1. p ≥ -17/8 2. p < 1/2 3. p < -1 atau p > 4 Dari syarat 1 dan 2, kita dapatkan -17/8 ≤ p < 1/2. Sekarang kita bandingkan hasil ini dengan syarat 3: - Jika p < -1, maka ini tidak memenuhi syarat -17/8 ≤ p < 1/2. - Jika p > 4, maka ini juga tidak memenuhi syarat -17/8 ≤ p < 1/2. Namun, kita perlu memeriksa kembali syarat 2 dan 3. Jika kedua akar positif, maka jumlahnya positif dan hasil kalinya juga positif. Kesalahan mungkin ada dalam interpretasi atau perhitungan. Mari kita periksa kembali: Syarat 1: D >= 0 => p >= -17/8 Syarat 2: x1 + x2 > 0 => -2p + 1 > 0 => p < 1/2 Syarat 3: x1 * x2 > 0 => p^2 - 3p - 4 > 0 => (p-4)(p+1) > 0 => p < -1 atau p > 4 Untuk memenuhi semua syarat, kita perlu mencari irisan dari ketiga kondisi tersebut: Irisan dari (p >= -17/8) dan (p < 1/2) adalah -17/8 <= p < 1/2. Sekarang kita iriskan hasil ini dengan (p < -1 atau p > 4). -17/8 adalah sekitar -2.125. Jadi kita punya: -2.125 <= p < 0.5 Dan kita punya: p < -1 atau p > 4 Irisan dari kedua kondisi ini tidak ada. Mari kita cek kembali soalnya, apakah ada kekeliruan dalam soal atau pemahaman saya. Jika kedua akar harus positif, maka: 1. Diskriminan harus non-negatif: D ≥ 0 => p ≥ -17/8 2. Jumlah akar harus positif: x₁ + x₂ > 0 => -b/a > 0 => -(2p - 1) > 0 => -2p + 1 > 0 => p < 1/2 3. Hasil kali akar harus positif: x₁ * x₂ > 0 => c/a > 0 => p² - 3p - 4 > 0 => (p - 4)(p + 1) > 0 => p < -1 atau p > 4 Kita perlu mencari nilai p yang memenuhi ketiga kondisi tersebut: Kondisi 1: p ≥ -17/8 Kondisi 2: p < 1/2 Kondisi 3: p < -1 atau p > 4 Dari kondisi 1 dan 2, kita mendapatkan interval: [-17/8, 1/2) Sekarang kita cari irisan dari [-17/8, 1/2) dengan (p < -1 atau p > 4). Interval [-17/8, 1/2) adalah [-2.125, 0.5). Jika kita iriskan dengan p < -1, maka bagian yang memenuhi adalah [-2.125, -1). Jika kita iriskan dengan p > 4, maka tidak ada bagian yang memenuhi karena interval kita berakhir di 0.5. Jadi, nilai p yang memenuhi adalah -17/8 ≤ p < -1. Kemungkinan ada kesalahan dalam asumsi soal atau pilihan jawaban yang diberikan jika ini adalah soal pilihan ganda. Namun, berdasarkan syarat matematis agar kedua akar positif, nilai p berada dalam rentang -17/8 ≤ p < -1.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Akar Akar Persamaan Kuadrat
Section: Sifat Sifat Akar Persamaan Kuadrat
Apakah jawaban ini membantu?