Andi ingin membuat kotak pensil dari kertas. Dia memiliki

Andi harus memotong persegi sekitar 3.92 cm dari setiap sudut kertas untuk volume maksimum.

Pembahasan

Untuk membantu Andi membuat kotak pensil dari kertas berukuran 30 cm x 20 cm dengan volume maksimum, kita perlu menentukan dimensi kotak pensil yang optimal. Asumsikan kotak pensil tersebut berbentuk balok.

Misalkan kita memotong persegi dari keempat sudut kertas untuk dilipat menjadi kotak. Misalkan sisi persegi yang dipotong adalah x cm.

Panjang kertas = 30 cm
Lebar kertas = 20 cm

Setelah memotong persegi x cm dari setiap sudut, dimensi alas kotak pensil akan menjadi:
Panjang alas = 30 - 2x
Lebar alas = 20 - 2x
Tinggi kotak = x

Volume (V) kotak pensil adalah:
V(x) = (30 - 2x)(20 - 2x)(x)
V(x) = (600 - 60x - 40x + 4x^2)(x)
V(x) = (600 - 100x + 4x^2)(x)
V(x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x

Untuk mencari volume maksimum, kita perlu mencari turunan pertama V(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol:
V'(x) = 12x^2 - 200x + 600

Setel V'(x) = 0:
12x^2 - 200x + 600 = 0

Bagi seluruh persamaan dengan 4 untuk menyederhanakan:
3x^2 - 50x + 150 = 0

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai x:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [50 ± sqrt((-50)^2 - 4 * 3 * 150)] / (2 * 3)
x = [50 ± sqrt(2500 - 1800)] / 6
x = [50 ± sqrt(700)] / 6
x = [50 ± 10*sqrt(7)] / 6
x = [25 ± 5*sqrt(7)] / 3

Dua kemungkinan nilai x:
x1 = (25 + 5*sqrt(7)) / 3 ≈ (25 + 5 * 2.646) / 3 ≈ (25 + 13.23) / 3 ≈ 38.23 / 3 ≈ 12.74
x2 = (25 - 5*sqrt(7)) / 3 ≈ (25 - 13.23) / 3 ≈ 11.77 / 3 ≈ 3.92

Kita harus memeriksa apakah nilai x ini valid. Sisi kertas adalah 20 cm, jadi 2x harus lebih kecil dari 20, yang berarti x harus lebih kecil dari 10. Oleh karena itu, x1 ≈ 12.74 tidak valid.

Nilai x yang valid adalah x ≈ 3.92 cm.

Sekarang kita hitung dimensi kotak pensil:
Tinggi = x ≈ 3.92 cm
Panjang alas = 30 - 2x ≈ 30 - 2(3.92) ≈ 30 - 7.84 ≈ 22.16 cm
Lebar alas = 20 - 2x ≈ 20 - 2(3.92) ≈ 20 - 7.84 ≈ 12.16 cm

Volume maksimum = (22.16 cm) * (12.16 cm) * (3.92 cm) ≈ 1056.3 cm^3

Jadi, Andi harus memotong persegi dengan sisi sekitar 3.92 cm dari setiap sudut kertas 30 cm x 20 cm untuk membuat kotak pensil dengan volume maksimum, menghasilkan volume sekitar 1056.3 cm^3.