Diketahui persamaan polinomial

p+q+r = -29

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan polinomial $x^4-16x^3+43px^2+(5q-1)x+25r+5=0$ adalah $a-3b, a-b, a+b, a+3b$, karena membentuk barisan aritmetika dengan beda 2, maka beda antar suku adalah 2. Misalkan akar pertama adalah $a-3b$, maka akar kedua adalah $a-3b+2$, akar ketiga $a-3b+4$, dan akar keempat $a-3b+6$. Karena ini adalah barisan aritmetika dengan beda 2, kita bisa menuliskannya sebagai $a-3, a-1, a+1, a+3$ dengan asumsi beda adalah 2. Namun, jika kita menggunakan notasi $a, a+d, a+2d, a+3d$, maka bedanya adalah $d$. Dalam soal disebutkan beda adalah 2. Jadi akar-akarnya bisa kita tulis sebagai $a-3, a-1, a+1, a+3$ (dengan beda 2). Ini berarti akar-akarnya adalah $a-3b, a-b, a+b, a+3b$ dengan $b=1$. 

Dari teorema Vieta:
Jumlah akar-akar: $(a-3) + (a-1) + (a+1) + (a+3) = 4a$. Dari persamaan polinomial, jumlah akar-akarnya adalah $-(-16)/1 = 16$. Jadi, $4a = 16$, sehingga $a = 4$.

Sekarang kita tahu akar-akarnya adalah $4-3=1, 4-1=3, 4+1=5, 4+3=7$.

Jumlah hasil kali akar-akar berpasangan: $(1 	imes 3) + (1 	imes 5) + (1 	imes 7) + (3 	imes 5) + (3 	imes 7) + (5 	imes 7) = 3 + 5 + 7 + 15 + 21 + 35 = 86$. Dari persamaan polinomial, jumlah hasil kali akar-akar berpasangan adalah $43p/1 = 43p$. Jadi, $43p = 86$, sehingga $p = 2$.

Jumlah hasil kali akar-akar:
$(1 	imes 3 	imes 5) + (1 	imes 3 	imes 7) + (1 	imes 5 	imes 7) + (3 	imes 5 	imes 7) = 15 + 21 + 35 + 105 = 176$. Dari persamaan polinomial, jumlah hasil kali akar-akar adalah $-(5q-1)/1 = -(5q-1)$. Jadi, $-(5q-1) = 176 
ightarrow 5q-1 = -176 
ightarrow 5q = -175 
ightarrow q = -35$.

Hasil kali akar-akar: $1 	imes 3 	imes 5 	imes 7 = 105$. Dari persamaan polinomial, hasil kali akar-akarnya adalah $(25r+5)/1 = 25r+5$. Jadi, $25r+5 = 105 
ightarrow 25r = 100 
ightarrow r = 4$.

Nilai $p+q+r = 2 + (-35) + 4 = 2 - 35 + 4 = -29$.