Diketahui persegi panjang ABCD. AB = 16 dan AD = 12.

Luas segi delapan beraturan adalah 128(1 + √2) cm².

Pembahasan

Ini adalah soal geometri yang melibatkan segitiga siku-siku, lingkaran dalam (inskripsi), dan segidelapan beraturan.

Langkah 1: Hitung panjang diagonal AC.
Dalam persegi panjang ABCD, segitiga ABC adalah segitiga siku-siku dengan AB = 16 dan BC = AD = 12. Menggunakan Teorema Pythagoras:
AC² = AB² + BC²
AC² = 16² + 12²
AC² = 256 + 144
AC² = 400
AC = √400 = 20 cm.

Langkah 2: Tentukan pusat lingkaran dalam (M dan N).
Lingkaran dalam segitiga siku-siku ABC dan ACD akan bersinggungan dengan ketiga sisinya. Pusat lingkaran dalam (incenter) terletak pada perpotongan garis bagi sudut. Karena segitiga ABC dan ACD adalah kongruen, pusat lingkaran dalamnya (M dan N) akan simetris.

Untuk segitiga siku-siku dengan sisi a, b, dan c (hipotenusa), jari-jari lingkaran dalam (r) adalah:
r = (a + b - c) / 2
Dalam kasus segitiga ABC (sisi 12, 16, 20):
r = (12 + 16 - 20) / 2 = 8 / 2 = 4 cm.

Karena M dan N adalah pusat dari lingkaran dalam segitiga ABC dan ACD, dan MN diambil sebagai sisi segi delapan beraturan, kita perlu memahami posisi M dan N.
M dan N adalah pusat lingkaran dalam. Jarak antara kedua pusat ini akan menjadi sisi segi delapan. Pusat lingkaran dalam segitiga ABC akan berada pada jarak tertentu dari sisi-sisi AB, BC, dan AC. Pusat lingkaran dalam segitiga ACD akan berada pada jarak yang sama dari sisi-sisi AD, CD, dan AC.

Posisi M dan N relatif terhadap diagonal AC: Jika kita meletakkan segitiga ABC pada koordinat, dengan A=(0,12), B=(16,12), C=(16,0). Diagonal AC menghubungkan (0,12) dan (16,0). Pusat lingkaran dalam M berada pada jarak r=4 dari sisi-sisinya. Pusat N berada pada posisi yang simetris.

Cara lain untuk melihatnya: Jarak antara pusat lingkaran dalam dari dua segitiga yang berbagi sisi yang sama (diagonal AC) bergantung pada geometri segitiga tersebut. Dalam kasus ini, kedua segitiga adalah siku-siku yang kongruen. Pusat lingkaran dalam M dan N akan berada pada garis simetri persegi panjang. Jarak MN adalah dua kali jarak dari pusat lingkaran dalam ke diagonal AC, dikurangi jarak dari pusat lingkaran dalam ke titik C (atau A). Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan melihat bahwa jarak MN adalah dua kali jari-jari lingkaran dalam yang diukur tegak lurus terhadap hipotenusa di tengahnya, jika segitiga sama kaki. Namun, ini bukan sama kaki.

Mari kita pertimbangkan jarak tegak lurus dari M ke AC dan dari N ke AC. Karena kedua segitiga kongruen dan berbagi hipotenusa, jarak dari M ke AC akan sama dengan jarak dari N ke AC. Pusat M berada di dalam segitiga ABC dan N di dalam segitiga ACD. Jarak MN adalah jarak antara kedua pusat tersebut.

Jika kita menganggap segitiga ABC, pusat M berjarak r=4 dari AB, BC, dan AC. Jika kita menganggap segitiga ACD, pusat N berjarak r=4 dari AD, CD, dan AC. Jarak MN adalah jarak antara kedua pusat ini.

Sebuah properti penting: Jarak antara pusat lingkaran dalam dari dua segitiga yang dibentuk oleh diagonal persegi panjang adalah sama dengan jari-jari lingkaran dalam yang diukur ke arah yang berlawanan dari diagonal. Dalam kasus ini, M dan N berada di sisi yang berlawanan dari diagonal AC.

Jika r adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga siku-siku ABC (dan ACD), yaitu r = 4. Jarak MN akan menjadi 2 * r, yaitu 2 * 4 = 8 cm. Mengapa? Pusat lingkaran dalam M berjarak r dari sisi AC. Pusat N juga berjarak r dari sisi AC. Karena M dan N berada di sisi yang berlawanan dari AC, jarak MN = r + r = 2r = 8 cm.

Langkah 3: Hitung luas segi delapan beraturan.
MN = 8 cm adalah sisi dari segi delapan beraturan.
Rumus luas segi delapan beraturan dengan sisi 's' adalah: Luas = 2 * (1 + √2) * s²
Luas = 2 * (1 + √2) * (8 cm)²
Luas = 2 * (1 + √2) * 64 cm²
Luas = 128 * (1 + √2) cm²
Luas ≈ 128 * (1 + 1.414) cm²
Luas ≈ 128 * 2.414 cm²
Luas ≈ 309.00 cm².

Jadi, luas segi delapan beraturan tersebut adalah 128(1 + √2) cm².