Diketahui pertidaksamaan (3x+7)^(1/2) >= x -1. Nilai x yang

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah interval [-7/3, 6].

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (3x+7)^(1/2) >= x -1, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: x - 1 < 0, yaitu x < 1.
Dalam kasus ini, sisi kanan pertidaksamaan adalah negatif. Karena sisi kiri pertidaksamaan adalah akar kuadrat (yang selalu non-negatif), maka pertidaksamaan akan selalu benar selama akar kuadrat terdefinisi.
Agar (3x+7)^(1/2) terdefinisi, kita harus memiliki 3x + 7 >= 0, yang berarti 3x >= -7, atau x >= -7/3.
Jadi, untuk Kasus 1, kita memiliki syarat -7/3 <= x < 1.
Dalam rentang ini, pertidaksamaan selalu benar.

Kasus 2: x - 1 >= 0, yaitu x >= 1.
Dalam kasus ini, kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, sehingga kita bisa mengkuadratkan kedua sisi tanpa mengubah arah pertidaksamaan.
(3x+7) >= (x-1)^2
3x + 7 >= x^2 - 2x + 1
0 >= x^2 - 2x - 3x + 1 - 7
0 >= x^2 - 5x - 6

Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - 5x - 6 = 0.
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
(x - 6)(x + 1) = 0
Akar-akarnya adalah x = 6 dan x = -1.

Pertidaksamaan x^2 - 5x - 6 <= 0 berarti parabola y = x^2 - 5x - 6 berada di bawah atau pada sumbu x. Ini terjadi di antara akar-akarnya.
Jadi, -1 <= x <= 6.

Karena kita berada dalam Kasus 2 di mana x >= 1, maka irisan dari x >= 1 dan -1 <= x <= 6 adalah 1 <= x <= 6.

Sekarang kita gabungkan solusi dari kedua kasus:
Dari Kasus 1: -7/3 <= x < 1.
Dari Kasus 2: 1 <= x <= 6.

Gabungan dari kedua rentang ini adalah: -7/3 <= x <= 6.

Jadi, nilai x yang memenuhi pertidaksamaan (3x+7)^(1/2) >= x -1 adalah semua x dalam interval [-7/3, 6].