Selesaikan limit-limit berikut dengan cara menyederhanakan

Hasil limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - \cos 3x}{1 - \cos 2x}$ kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Menggunakan aturan L'Hopital:
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan dari (cos x - cos 3x) adalah -sin x - (-3sin 3x) = -sin x + 3sin 3x
Turunan dari (1 - cos 2x) adalah 0 - (-2sin 2x) = 2sin 2x
Sehingga limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + 3\sin 3x}{2\sin 2x}$

Gunakan aturan L'Hopital lagi:
Turunan dari (-sin x + 3sin 3x) adalah -cos x + 9cos 3x
Turunan dari (2sin 2x) adalah 4cos 2x
Sehingga limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 9\cos 3x}{4\cos 2x}$

Ganti x dengan 0:
$\frac{-\cos 0 + 9\cos 0}{4\cos 0} = \frac{-1 + 9(1)}{4(1)} = \frac{-1 + 9}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Menggunakan identitas trigonometri:
$\(cos A - cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)$
$\(1 - cos 2A = 2 \sin^2 A\)$

Pembilang: $\cos x - \cos 3x = -2 \sin \frac{x+3x}{2} \sin \frac{x-3x}{2} = -2 \sin 2x \sin (-x) = 2 \sin 2x \sin x$

Penyebut: $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$

Sehingga limitnya menjadi $\lim_{x \to 0} \frac{2 \sin 2x \sin x}{2 \sin^2 x}$
Gunakan $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 (2 \sin x \cos x) \sin x}{2 \sin^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{4 \sin^2 x \cos x}{2 \sin^2 x}$
Coret $2 \sin^2 x$:
$\lim_{x \to 0} 2 \cos x$
Ganti x dengan 0:
$2 \cos 0 = 2(1) = 2$

Jadi, hasil limitnya adalah 2.