Diketahui pertidaksamaan 4x^2+9x>9-k^2. Tentukan nilai k

k > 15/4 atau k < -15/4

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 4x^2 + 9x > 9 - k^2.
Agar pertidaksamaan ini dipenuhi oleh semua x ∈ R, maka bentuk kuadratiknya harus selalu positif dan diskriminannya harus negatif (agar tidak ada akar real).

Langkah 1: Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk umum ax^2 + bx + c > 0.
4x^2 + 9x - 9 + k^2 > 0

Dalam bentuk ini, a = 4, b = 9, dan c = k^2 - 9.

Langkah 2: Tentukan syarat agar pertidaksamaan kuadratik selalu positif untuk semua x ∈ R.
Syaratnya adalah:
1. Koefisien x^2 (a) harus positif. Dalam kasus ini, a = 4, yang sudah positif.
2. Diskriminan (D) harus negatif. Diskriminan dihitung dengan rumus D = b^2 - 4ac.

Langkah 3: Hitung diskriminan dan tentukan syaratnya.
D = b^2 - 4ac
D = (9)^2 - 4(4)(k^2 - 9)
D = 81 - 16(k^2 - 9)
D = 81 - 16k^2 + 144
D = 225 - 16k^2

Agar pertidaksamaan dipenuhi oleh semua x ∈ R, maka D < 0.
225 - 16k^2 < 0
225 < 16k^2
16k^2 > 225
k^2 > 225/16

Langkah 4: Cari nilai k.
Untuk menyelesaikan k^2 > 225/16, kita ambil akar kuadrat dari kedua sisi:
|k| > sqrt(225/16)
|k| > 15/4

Ini berarti k > 15/4 atau k < -15/4.

Jadi, agar pertidaksamaan 4x^2+9x>9-k^2 dipenuhi oleh semua x ∈ R, nilai k harus memenuhi k > 15/4 atau k < -15/4.