Diketahui polinom f(x)=x^3-6x^2+bx-a. Jika polinom ini

Sisa pembagian f(x) oleh x^2+5x+6 adalah 60x + 60.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep pembagian polinom. Diketahui f(x) = x^3 - 6x^2 + bx - a. Karena f(x) habis dibagi x-2, maka f(2) = 0. Substitusikan x=2 ke dalam f(x):
2^3 - 6(2^2) + b(2) - a = 0
8 - 24 + 2b - a = 0
-16 + 2b - a = 0
2b - a = 16 (Persamaan 1)

Karena f(x) habis dibagi x-3, maka f(3) = 0. Substitusikan x=3 ke dalam f(x):
3^3 - 6(3^2) + b(3) - a = 0
27 - 54 + 3b - a = 0
-27 + 3b - a = 0
3b - a = 27 (Persamaan 2)

Selanjutnya, kita eliminasi Persamaan 1 dan Persamaan 2 untuk mencari nilai b dan a:
(3b - a) - (2b - a) = 27 - 16
b = 11

Substitusikan nilai b=11 ke Persamaan 1:
2(11) - a = 16
22 - a = 16
a = 6

Jadi, polinomnya adalah f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.

Sekarang kita perlu mencari sisa pembagian f(x) oleh x^2 + 5x + 6. Kita bisa menggunakan pembagian bersusun atau teorema sisa. Mari kita gunakan pemfaktoran pembagi: x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3).

Karena f(x) dibagi oleh (x+2)(x+3), maka sisa pembagiannya dapat ditulis sebagai S(x) = Px + Q. Maka:
f(-2) = P(-2) + Q
f(-3) = P(-3) + Q

Hitung f(-2):
f(-2) = (-2)^3 - 6(-2)^2 + 11(-2) - 6
f(-2) = -8 - 6(4) - 22 - 6
f(-2) = -8 - 24 - 22 - 6
f(-2) = -60

Jadi, -2P + Q = -60 (Persamaan 3)

Hitung f(-3):
f(-3) = (-3)^3 - 6(-3)^2 + 11(-3) - 6
f(-3) = -27 - 6(9) - 33 - 6
f(-3) = -27 - 54 - 33 - 6
f(-3) = -120

Jadi, -3P + Q = -120 (Persamaan 4)

Selanjutnya, kita eliminasi Persamaan 3 dan Persamaan 4:
(-2P + Q) - (-3P + Q) = -60 - (-120)
P = 60

Substitusikan nilai P=60 ke Persamaan 3:
-2(60) + Q = -60
-120 + Q = -60
Q = 60

Maka, sisa pembagiannya adalah S(x) = 60x + 60.