Diketahui polinomial f(x)=x^4-x^3+ax^2+x+b habis dibagi

Nilai a = -7 dan b = 6. Akar-akar persamaan polinomial f(x) = 0 adalah 3, 1, -1, dan -2.

Pembahasan

Diketahui polinomial f(x) = x⁴ - x³ + ax² + x + b.
Polinomial ini memiliki sifat:
1. Habis dibagi (x-3), yang berarti f(3) = 0.
2. Bersisa -12 apabila dibagi (x-2), yang berarti f(2) = -12.

a. Menentukan nilai a dan b:
Dari sifat pertama (habis dibagi x-3):
f(3) = (3)⁴ - (3)³ + a(3)² + 3 + b = 0
81 - 27 + 9a + 3 + b = 0
54 + 9a + 3 + b = 0
57 + 9a + b = 0
9a + b = -57 (Persamaan 1)

Dari sifat kedua (bersisa -12 saat dibagi x-2):
f(2) = (2)⁴ - (2)³ + a(2)² + 2 + b = -12
16 - 8 + 4a + 2 + b = -12
8 + 4a + 2 + b = -12
10 + 4a + b = -12
4a + b = -22 (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear dua variabel (Persamaan 1 dan 2):
(1) 9a + b = -57
(2) 4a + b = -22

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(9a + b) - (4a + b) = -57 - (-22)
5a = -57 + 22
5a = -35
a = -7

Substitusikan nilai a = -7 ke Persamaan 2:
4(-7) + b = -22
-28 + b = -22
b = -22 + 28
b = 6

Jadi, nilai a = -7 dan b = 6.

b. Mencari akar-akar persamaan polinomial f(x) = 0:
Dengan nilai a=-7 dan b=6, polinomialnya menjadi f(x) = x⁴ - x³ - 7x² + x + 6.
Karena f(x) habis dibagi (x-3), maka x=3 adalah salah satu akarnya. Kita bisa melakukan pembagian polinomial atau menggunakan sintesis.

Menggunakan pembagian sintesis dengan (x-3) [akar x=3]:
3 | 1  -1  -7   1   6
  |    3   6  -3  -6
  ------------------
    1   2  -1  -2   0 

Hasil bagi adalah x³ + 2x² - x - 2.
Sekarang kita perlu mencari akar dari polinomial kubik ini. Kita tahu bahwa x=3 adalah akar, mari kita cek apakah ada akar lain dari pembagian sintesis sebelumnya.

Kita bisa mencoba memfaktorkan x³ + 2x² - x - 2:
Kelompokkan:
x²(x + 2) - 1(x + 2) = 0
(x² - 1)(x + 2) = 0
(x - 1)(x + 1)(x + 2) = 0

Ini memberikan akar-akar x = 1, x = -1, dan x = -2.

Jadi, akar-akar dari persamaan polinomial f(x) = x⁴ - x³ - 7x² + x + 6 = 0 adalah: x = 3, x = 1, x = -1, dan x = -2.