Diketahui prisma tegak segiempat ABCD. EFGH memiliki

7/9

Pembahasan

Untuk menentukan kosinus sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan BDE pada prisma tegak segiempat ABCD.EFGH dengan panjang rusuk AB = BC = 2 cm dan CG = 4 cm, kita perlu mencari vektor normal dari kedua bidang tersebut.

Misalkan titik A pada (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A=(0,0,0), B=(2,0,0), C=(2,2,0), D=(0,2,0)
E=(0,0,4), F=(2,0,4), G=(2,2,4), H=(0,2,4)

1. Bidang BDG:
Vektor BD = D - B = (0,2,0) - (2,0,0) = (-2, 2, 0)
Vektor BG = G - B = (2,2,4) - (2,0,0) = (0, 2, 4)

Normal vektor n1 (tegak lurus BDG) = BD x BG
n1 = (-2, 2, 0) x (0, 2, 4)
n1 = ( (2*4 - 0*2), (0*0 - (-2)*4), ((-2)*2 - 2*0) )
n1 = (8, 8, -4)
Kita bisa sederhanakan n1 menjadi (2, 2, -1) dengan membagi dengan 4.

2. Bidang BDE:
Vektor BD = (-2, 2, 0) (sudah dihitung di atas)
Vektor BE = E - B = (0,0,4) - (2,0,0) = (-2, 0, 4)

Normal vektor n2 (tegak lurus BDE) = BD x BE
n2 = (-2, 2, 0) x (-2, 0, 4)
n2 = ( (2*4 - 0*0), (0*(-2) - (-2)*4), ((-2)*0 - 2*(-2)) )
n2 = (8, 8, 4)
Kita bisa sederhanakan n2 menjadi (2, 2, 1) dengan membagi dengan 4.

3. Menghitung kosinus sudut antara dua bidang:
Sudut antara dua bidang sama dengan sudut antara normal vektornya. Rumusnya adalah:
cos(theta) = |(n1 . n2)| / (||n1|| * ||n2||)

dot product (n1 . n2) = (2*2) + (2*2) + (-1*1) = 4 + 4 - 1 = 7

Magnitude ||n1|| = sqrt(2^2 + 2^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3
Magnitude ||n2|| = sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3

cos(theta) = |7| / (3 * 3) = 7 / 9.

Jadi, kosinus sudut yang dibentuk oleh bidang BDG dan BDE adalah 7/9.