Sebuah helikopter terbang pada suatu garis lurus dengan

(2, 7, 1)

Pembahasan

Misalkan koordinat titik B adalah (x, y, z).
Helikopter terbang dari A ke B dalam 3 menit dan dari B ke C dalam 2 menit. Karena kelajuannya tetap, maka perbandingan jarak tempuh berbanding lurus dengan waktu tempuh.

Perbandingan waktu tempuh A ke B : B ke C = 3 : 2
Ini berarti perbandingan jarak tempuh AB : BC = 3 : 2.

Kita dapat menggunakan rumus pembagian ruas garis berhadapan.
Jika titik B membagi ruas garis AC dengan perbandingan m : n, maka koordinat B adalah:
B = ((n*Ax + m*Cx)/(m+n), (n*Ay + m*Cy)/(m+n), (n*Az + m*Cz)/(m+n))

Dalam kasus ini, A = (2, 4, 7) dan C = (2, 9, -3). Titik B membagi AC dengan perbandingan AB : BC = 3 : 2. Namun, perlu diperhatikan bahwa B berada di antara A dan C, dan rasio jaraknya adalah 3 unit waktu dari A ke B dan 2 unit waktu dari B ke C. Ini berarti B membagi AC dengan perbandingan 3:2 jika dihitung dari A ke B lalu B ke C. Namun, titik B membagi segmen AC dalam rasio yang berbeda jika kita melihat vektornya.

Mari kita gunakan vektor. Vektor AC = C - A = (2-2, 9-4, -3-7) = (0, 5, -10).
Karena helikopter terbang dari A ke B (3 menit) dan B ke C (2 menit) dengan kecepatan konstan, maka vektor AB adalah 3/5 dari vektor AC, dan vektor BC adalah 2/5 dari vektor AC.

Vektor AB = 3/5 * Vektor AC = 3/5 * (0, 5, -10) = (0, 3, -6).

Koordinat B dapat ditemukan dengan menambahkan vektor AB ke koordinat A:
B = A + Vektor AB
B = (2, 4, 7) + (0, 3, -6)
B = (2+0, 4+3, 7-6)
B = (2, 7, 1)

Untuk memeriksa, kita bisa hitung vektor BC:
Vektor BC = C - B = (2-2, 9-7, -3-1) = (0, 2, -4).
Perbandingan besar vektor AB dan BC:
|AB| = sqrt(0^2 + 3^2 + (-6)^2) = sqrt(9 + 36) = sqrt(45) = 3*sqrt(5)
|BC| = sqrt(0^2 + 2^2 + (-4)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2*sqrt(5)
Perbandingan |AB|:|BC| = 3*sqrt(5) : 2*sqrt(5) = 3:2. Ini sesuai dengan perbandingan waktu tempuh.

Jadi, koordinat B adalah (2, 7, 1).