Diketahui sebuah lingkaran dengan persamaan x^2+y^2-4x+q=0

q = -5 (dengan asumsi ada kesalahan penulisan pada persamaan garis)

Pembahasan

Untuk mencari nilai q, kita perlu menggunakan konsep bahwa garis menyinggung lingkaran. Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2+y^2-4x+q=0. Kita bisa ubah persamaan ini menjadi bentuk standar (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2. Dengan melengkapkan kuadrat untuk suku x, kita dapatkan (x^2 - 4x + 4) + y^2 = -q + 4, atau (x-2)^2 + y^2 = 4-q. Jadi, pusat lingkaran adalah (2, 0) dan jari-jarinya adalah akar(4-q).

Garis yang menyinggung lingkaran adalah y = 1/akar(5(2x+5)). Kita bisa ubah bentuk ini menjadi akar(5)y = 1/akar(2x+5). Kuadratkan kedua sisi: 5y^2 = 1/(2x+5). Ini belum bentuk yang mudah untuk diolah. Mari kita ubah persamaan garis menjadi bentuk Ax + By + C = 0. Dari y = 1/akar(5(2x+5)), kita dapatkan akar(5(2x+5))y = 1. Kuadratkan kedua sisi: 5(2x+5)y^2 = 1. Jadi, (10x + 25)y^2 = 1. Ini juga masih belum tepat.

Mari kita periksa kembali persamaan garisnya. Kemungkinan ada kesalahan penulisan pada soal. Jika kita asumsikan garisnya adalah y = mx + c atau bentuk lain yang lebih umum, kita bisa menggunakan jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut sama dengan jari-jari lingkaran. 

Asumsikan persamaan garisnya adalah y = k(2x+5). Jika demikian, maka 2kx - y + 5k = 0. Jarak dari pusat (2, 0) ke garis ini adalah |2k(2) - 0 + 5k| / akar((2k)^2 + (-1)^2) = |4k + 5k| / akar(4k^2 + 1) = |9k| / akar(4k^2 + 1). Jarak ini sama dengan jari-jari, yaitu akar(4-q). Jadi, (|9k| / akar(4k^2 + 1))^2 = 4-q. 81k^2 / (4k^2 + 1) = 4-q.

Namun, dengan persamaan garis yang diberikan y=(1)/(akar(5(2x+5))), ini bukan bentuk garis lurus standar. Persamaan ini mendefinisikan kurva. Jika kurva ini menyinggung lingkaran, maka hanya ada satu titik potong antara kurva dan lingkaran. 

Mari kita coba interpretasi lain. Jika yang dimaksud adalah garis singgung lingkaran memiliki gradien yang diturunkan dari persamaan tersebut. Mari kita ubah persamaan garis menjadi y = (1/akar(5)) * (2x+5)^(-1/2). Turunkan y terhadap x: dy/dx = (1/akar(5)) * (-1/2) * (2x+5)^(-3/2) * 2 = -1 / (akar(5) * (2x+5)^(3/2)). Ini adalah gradien garis singgung pada titik (x, y) pada kurva tersebut. 

Jika garis singgung lingkaran adalah garis lurus yang menyinggung di satu titik, maka gradien garis singgung harus konsisten. Persamaan yang diberikan bukanlah persamaan garis lurus. Kemungkinan ada kesalahan penulisan pada soal. 

Jika kita berasumsi bahwa soal tersebut merujuk pada garis lurus dengan suatu parameter yang berkaitan dengan ekspresi tersebut, misalnya jika akar dari 5(2x+5) adalah sebuah konstanta atau terkait dengan gradien. 

Tanpa klarifikasi lebih lanjut mengenai bentuk persamaan garis, sulit untuk memberikan jawaban yang pasti. Namun, jika kita mengabaikan bentuk non-linear dari persamaan garis dan fokus pada konsep jarak pusat ke garis singgung sama dengan jari-jari, kita memerlukan bentuk garis Ax + By + C = 0. 

Jika kita mengasumsikan ada kesalahan ketik dan persamaan garisnya adalah y = (1/sqrt(5))(2x+5), maka gradiennya adalah 2/sqrt(5). Persamaan garis menjadi (2/sqrt(5))x - y + 5/sqrt(5) = 0 atau 2x - sqrt(5)y + 5 = 0. Jarak dari pusat (2,0) ke garis ini adalah |2(2) - sqrt(5)(0) + 5| / sqrt(2^2 + (-sqrt(5))^2) = |4+5| / sqrt(4+5) = 9 / sqrt(9) = 9/3 = 3. Jari-jari lingkaran adalah akar(4-q). Jadi, 3 = akar(4-q). Kuadratkan kedua sisi: 9 = 4-q. Maka q = 4-9 = -5. 

Mari kita coba asumsi lain. Jika soalnya adalah: Lingkaran x^2+y^2-4x+q=0 menyinggung garis 2x - y + 5 = 0. Maka gradiennya adalah 2. Pusatnya (2,0). Jari-jarinya akar(4-q). Jarak dari (2,0) ke 2x-y+5=0 adalah |2(2) - 0 + 5| / akar(2^2 + (-1)^2) = |4+5| / akar(4+1) = 9/akar(5). Maka, 9/akar(5) = akar(4-q). Kuadratkan kedua sisi: 81/5 = 4-q. q = 4 - 81/5 = (20-81)/5 = -61/5. 

Karena soal asli memiliki bentuk akar yang tidak biasa untuk persamaan garis, dan kita perlu memberikan jawaban, kita akan gunakan asumsi paling masuk akal yang mengarah pada solusi. Jika kita anggap y = 1/sqrt(5) * (2x+5) dan mengabaikan akar kuadrat pada (2x+5), maka y = (2x+5)/sqrt(5). Persamaan garis menjadi 2x - sqrt(5)y + 5 = 0. Dengan pusat (2,0) dan jari-jari sqrt(4-q), jarak dari pusat ke garis adalah |2(2) - sqrt(5)(0) + 5| / sqrt(2^2 + (-sqrt(5))^2) = |4+5| / sqrt(4+5) = 9/3 = 3. Maka, 3 = sqrt(4-q). Kuadratkan kedua sisi: 9 = 4-q. q = -5.

Jawaban yang paling mungkin dengan asumsi kesalahan penulisan adalah q = -5. Namun, tanpa klarifikasi soal asli, ini hanyalah perkiraan. Untuk soal asli dengan y=(1)/(akar(5(2x+5))), nilai q tidak dapat ditentukan karena ini bukan persamaan garis lurus. Dengan asumsi ada kesalahan ketik dan persamaan garisnya adalah y = (2x+5)/akar(5), maka q = -5.